Encontre a solução geral pelo método da variação dos parâmetros (MVP):
y^prime prime(t)+y^prime(t)-2 y(t)=e^-2 t

Passo 1

Temos a equação diferencial
y''(t) + y'(t) - 2y(t) = e^-2t
que é uma equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para aplicar a variação de parâmetros, primeiro obtemos a solução geral da homogênea e escolhemos um par fundamental de soluções.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y' - 2y = 0
Assumindo y=e^rt obtemos a equação característica r^2 + r - 2 = 0, cujas raízes são r=1 e r=-2. Portanto um par fundamental é y1(t)=e^t e y2(t)=e^-2t.

Passo 3

Pelo método da variação de parâmetros, buscamos
yp(t) = u1(t)e^t + u2(t)e^-2t,
onde u1 e u2 satisfazem o sistema
u1'(t)e^t + u2'(t)e^-2t = 0, u1'(t)e^t - 2u2'(t)e^-2t = e^-2t

Passo 4

Da primeira equação vem u1'(t)e^t = -u2'(t)e^-2t, logo u1'(t) = -u2'(t)e^-3t. Substituindo na segunda,
-,u2'(t)e^-3te^t - 2u2'(t)e^-2t = e^-2t,
que simplifica para -3u2'(t)e^-2t=e^-2t. Daí u2'(t) = -tfrac13 e u1'(t) = tfrac13e^-3t.

Passo 5

Integrando,
u2(t) = integral -tfrac13,dt = -tfrac13t, u1(t) = integral tfrac13e^-3t,dt = -tfrac19e^-3t

Passo 6

A solução particular fica
yp(t) = -tfrac19e^-3te^t - tfrac13t,e^-2t = -tfrac19e^-2t - tfrac13t,e^-2t
Assim a solução geral é
y(t) = C1e^t + C2e^-2t -tfrac19e^-2t - tfrac13t,e^-2t

Resposta

y(t) = C1e^t + C2e^-2t -tfrac19e^-2t -tfrac13t,e^-2t

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