Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty 2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n)n!

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^infty 2cdot4cdot6cdots(2n)n!. O conteúdo é teste de convergência de séries infinitas e vamos precisar simplificar o termo geral usando produto de progressão e depois aplicar o teste da divergência ou observar que é uma série geométrica.

Passo 2

Note que o numerador é o produto dos primeiros n números pares. Cada fator 2k pode ser escrito como 2times k, logo
2cdot4cdot6cdots(2n)=prodk=1^n(2k)=2^ncdot n!
Portanto o termo geral fica
an=2^n,n!n!=2^n

Passo 3

Para que uma série sum an converge é necessário que anto0. Aqui temos an=2^n, que cresce e não tende a zero. Alternativamente, é uma série geométrica de razão 2>1, conhecida por divergir.

Passo 4

Como o termo não tende a zero (e a série geométrica de razão maior que 1 diverge), concluímos que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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