Use a série binomial para a expandir a função f(x)=raiz1-x^2 como série de potências.

Passo 1

O enunciado pede para expandir a função
f(x)=raiz1 - x^2
em série de potências ao redor de x=0, usando a série binomial para expoente real.

Passo 2

Lembramos da fórmula da série binomial para qualquer alphainR:
(1 + u)^alpha ;=; sumk=0^infty binomalphak,u^k,
onde
binomalphak = alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1)k!

Passo 3

No nosso caso temos alpha=tfrac12 e
1 + u = 1 - x^2Longrightarrow u = -,x^2
Então
raiz1 - x^2 = (1 + u)^tfrac12 = sumk=0^infty binomtfrac12k,(-x^2)^k = sumk=0^infty binomtfrac12k(-1)^k,x^2k

Passo 4

Para ver os primeiros termos, calculamos
binomtfrac120=1, binomtfrac121=12, binomtfrac122=tfrac12(tfrac12-1)2!=-18, binomtfrac123=tfrac12(tfrac12-1)(tfrac12-2)3!=116, ;dots
e cada termo traz um fator (-1)^kx^2k.

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a expansão em série de potências:
raiz1 - x^2 = sumk=0^infty binomtfrac12k(-1)^k,x^2k = 1 - tfrac12,x^2 - tfrac18,x^4 - tfrac116,x^6 - cdots

Resposta

boxed raiz1 - x^2 = sumk=0^infty binomtfrac12k(-1)^k,x^2k = 1 - 12 x^2 - 18 x^4 - 116 x^6 - cdots

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