Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\left(e^{x}+1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(e^{x}+1\bigr)^{2}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função externa u^{2} composta com u=e^{x}+1.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=e^{x}+1
e a função externa
h(u)=u^{2}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).
Como h(u)=u^{2}, temos
h'(u)=2u,
e como u(x)=e^{x}+1,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+1\bigr)=e^{x}.

Passo 3

Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
f'(x)=2\,u(x)\,\cdot\,u'(x)=2\bigl(e^{x}+1\bigr)\,e^{x}.

Resposta

f'(x)=2e^{x}\bigl(e^{x}+1\bigr).

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