Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\frac{3}{x^{3}}+\frac{5}{x^{2}}+\frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{3}{x^{3}}+\frac{5}{x^{2}}+\frac{2}{x}
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do poder (power rule) para derivadas de funções da forma \,x^{n}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo usando expoentes negativos, pois isso facilita a aplicação da regra do poder:
f(x)=3x^{-3}+5x^{-2}+2x^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(a\,x^{n}\bigr)=a\,n\,x^{n-1}.
Fazendo termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{-3}\bigr)=3\cdot(-3)\,x^{-4},\quad \frac{d}{dx}\bigl(5x^{-2}\bigr)=5\cdot(-2)\,x^{-3},\quad \frac{d}{dx}\bigl(2x^{-1}\bigr)=2\cdot(-1)\,x^{-2}.

Passo 4

Agora simplificamos os coeficientes:
f'(x)=-9x^{-4}-10x^{-3}-2x^{-2}.

Passo 5

Por fim, voltamos à forma de fração para uma apresentação mais tradicional:
f'(x)=-\frac{9}{x^{4}}-\frac{10}{x^{3}}-\frac{2}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{9}{x^{4}}-\frac{10}{x^{3}}-\frac{2}{x^{2}}.

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