Determinar as derivadas das seguintes funções:
f(x)=\left(7 x^{2}+6 x\right)^{3} \cdot(3 x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{3}\,\bigl(3x-1\bigr)^{2}.
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia para potenciais.

Passo 2

Definimos
u(x)=\bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{3}, \quad v(x)=\bigl(3x-1\bigr)^{2},
de modo que f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em u(x). Como u(x)=w(x)^{3} com w(x)=7x^{2}+6x, temos
u'(x)=3\,w(x)^{2}\,w'(x) =3\bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{2}\,(14x+6).

Passo 4

Para v(x)=(3x-1)^{2}, a regra da cadeia dá
v'(x)=2\,(3x-1)\,(3) =6\,(3x-1).

Passo 5

Agora usamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =3\bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{2}(14x+6)\,(3x-1)^{2} +\bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{3}\,6\,(3x-1).

Passo 6

Fatoramos os fatores comuns \bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{2}, (3x-1) e 3:
f'(x) =3\bigl(7x^{2}+6x\bigr)^{2}(3x-1)\Bigl[(14x+6)(3x-1)+2\,(7x^{2}+6x)\Bigr].

Passo 7

Expandindo e somando dentro do colchete:
(14x+6)(3x-1)=42x^{2}+4x-6, \quad 2\,(7x^{2}+6x)=14x^{2}+12x,
logo
(14x+6)(3x-1)+2\,(7x^{2}+6x) =56x^{2}+16x-6 =2(28x^{2}+8x-3).
E 28x^{2}+8x-3=(14x-3)(2x+1).

Resposta

\boxed{ f'(x) =6\,(7x^{2}+6x)^{2}\,(3x-1)\,(14x-3)\,(2x+1) }.

Exercícios relacionados