Determinar o diâmetro mínimo necessário para que um eixo de transmissão transmita com segurança um torque de 100 N.m simultaneamente a um carregamento de flexão alternada de 300 N.m. Supor: uma tensão de escoamento de 250 MPa, um limite de fadiga de 180 MPa, um coeficiente de segurança = 2 e fator de concentração de tensão de 1,8.
(conteúdo da Aula 4 tema 4)
A
31,4 mm
B
35,3 mm
C
39,5 mm
D
43,2 mm
E
47,6 mm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diâmetro mínimo de um eixo de transmissão que consiga passar com segurança um torque de 100 N.m e um carregamento de flexão alternada de 300 N.m. Para isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão de escoamento, limite de fadiga, fator de segurança e concentração de tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no eixo. Temos dois tipos de momentos:
  • Torque (T): que causa torção no eixo.
  • Momento de Flexão (M): que causa flexão ou dobramento.
Esses momentos vão gerar tensões no material do eixo, e precisamos garantir que essas tensões não excedam os limites seguros do material.

Passo 3

Vamos calcular a tensão de torção (τ) causada pelo torque. A fórmula para isso é:
tau = T cdot cJ
Onde:
  • $ T $ é o torque aplicado.
  • $ c $ é o raio do eixo.
  • $ J $ é o momento polar de inércia da seção circular, dado por $ J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} $.
Como o raio $ c = \frac{d}{2} $, podemos reescrever a tensão de torção como:
T

Passo 4

Agora, vamos calcular a tensão de flexão (σ) causada pelo momento de flexão. A fórmula é:
sigma = M cdot cI
Onde:
  • $ M $ é o momento de flexão.
  • $ c $ é o raio do eixo.
  • $ I $ é o momento de inércia da seção circular, dado por $ I = \frac{\pi \cdot d^4}{64} $.
Substituindo, a tensão de flexão fica:
M

Passo 5

Como temos ambos os tipos de tensões atuando no eixo, precisamos combinar elas para encontrar a tensão total no material. Vamos usar a Superposição de Tensões:
sigmatotal = raiztau^2 + sigma^2
Substituindo as expressões que encontramos:
sigmatotal = raiz(16Tpi d^3)^2 + (32Mpi d^3)^2

Passo 6

Vamos considerar também o fator de concentração de tensão (K_t), que aumenta a tensão no ponto de maior concentração. Então, multiplicamos a tensão total por $ K_t $:
Kt

Passo 7

Agora, aplicamos o fator de segurança (FS) para garantir que a tensão máxima não exceda os limites seguros do material. A tensão admissível é o limite de fadiga dividido pelo fator de segurança:
sigmaadmissível = sigma'fFS = 180, MPa2 = 90, MPa í
Portanto, temos:
sigmamax <= 90, MPa

Passo 8

Substituindo tudo na equação de tensão máxima:
Kt cdot raiz(16Tpi d^3)^2 + (32Mpi d^3)^2 <= 90
Vamos simplificar:
1.8 cdot raiz(16 cdot 100pi d^3)^2 + (32 cdot 300pi d^3)^2 <= 90

Passo 9

Resolvendo a inequação para encontrar $ d $:
d
raiz(1600pi d^3)^2 + (9600pi d^3)^2 <= 901.8 = 50
raiz1600^2 + 9600^2pi^2 d^6 <= 50
Calculando o numerador:
raiz1600^2 + 9600^2pi d^3 <= 50
Então:
raiz1600^2 + 9600^2 = raiz2.56 times 10^6 + 9.216 times 10^7 = raiz9.472 times 10^7 approx 9732
Multiplicando ambos os lados por $ \pi d^3 $:
9732pi d^3 <= 50
Dividindo por $ 50 \pi $:
pi d^3
Extraindo a raiz cúbica:
9732 <= 50 pi d^3

Resposta

A alternativa correta é a C) 39,5 mm.

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