Determinar o diâmetro mínimo necessário para que um eixo de transmissão transmita com segurança um torque de 100 N.m simultaneamente a um carregamento de flexão alternada de 300 N.m. Supor: uma tensão de escoamento de 250 MPa, um limite de fadiga de 180 MPa, um coeficiente de segurança = 2 e fator de concentração de tensão de 1,8.
(conteúdo da Aula 4 tema 4)
A
31,4 mm
B
35,3 mm
C
39,5 mm
D
43,2 mm
E
47,6 mm
(conteúdo da Aula 4 tema 4)
A
31,4 mm
B
35,3 mm
C
39,5 mm
D
43,2 mm
E
47,6 mm
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o diâmetro mínimo de um eixo de transmissão que consiga passar com segurança um torque de 100 N.m e um carregamento de flexão alternada de 300 N.m. Para isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, como tensão de escoamento, limite de fadiga, fator de segurança e concentração de tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam no eixo. Temos dois tipos de momentos:
- Torque (T): que causa torção no eixo.
- Momento de Flexão (M): que causa flexão ou dobramento.
Esses momentos vão gerar tensões no material do eixo, e precisamos garantir que essas tensões não excedam os limites seguros do material.
Passo 3
Vamos calcular a tensão de torção (τ) causada pelo torque. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ T $ é o torque aplicado.
- $ c $ é o raio do eixo.
- $ J $ é o momento polar de inércia da seção circular, dado por $ J = \frac{\pi \cdot d^4}{32} $.
Como o raio $ c = \frac{d}{2} $, podemos reescrever a tensão de torção como:
Passo 4
Agora, vamos calcular a tensão de flexão (σ) causada pelo momento de flexão. A fórmula é:
Onde:
- $ M $ é o momento de flexão.
- $ c $ é o raio do eixo.
- $ I $ é o momento de inércia da seção circular, dado por $ I = \frac{\pi \cdot d^4}{64} $.
Substituindo, a tensão de flexão fica:
Passo 5
Como temos ambos os tipos de tensões atuando no eixo, precisamos combinar elas para encontrar a tensão total no material. Vamos usar a Superposição de Tensões:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 6
Vamos considerar também o fator de concentração de tensão (K_t), que aumenta a tensão no ponto de maior concentração. Então, multiplicamos a tensão total por $ K_t $:
Passo 7
Agora, aplicamos o fator de segurança (FS) para garantir que a tensão máxima não exceda os limites seguros do material. A tensão admissível é o limite de fadiga dividido pelo fator de segurança:
Portanto, temos:
Passo 8
Substituindo tudo na equação de tensão máxima:
Vamos simplificar:
Passo 9
Resolvendo a inequação para encontrar $ d $:
Calculando o numerador:
Então:
Multiplicando ambos os lados por $ \pi d^3 $:
Dividindo por $ 50 \pi $:
Extraindo a raiz cúbica:
Resposta
A alternativa correta é a C) 39,5 mm.