Determinar a dimensão e uma base para cada ùm dos seguintes subespaços vetoriais de
M(2,2) :
[lla & b c & d] ; llb=a+c & e d=c

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço de M(2,2) formado por todas as matrizes
a & b[6pt] c & d
que satisfazem as condições
b = a + c e d = c
O conteúdo envolvido é identificação de subespaço em espaço vetorial de matrizes, usando parâmetros livres para escrever o elemento geral como combinação linear de vetores geradores.]

Passo 2

As únicas incógnitas livres são a e c. Substituindo b e d nas matrizes, um elemento genérico fica
a & a + c[4pt] c & c
Agora separamos os termos que envolvem a e c:
a & a + c[4pt] c & c = a1 & 1[3pt]0 & 0 + c0 & 1[3pt]1 & 1 ]

Passo 3

Os dois matrizes
E1 = 1 & 1[3pt]0 & 0, E2 = 0 & 1[3pt]1 & 1
são linearmente independentes (não há escalares alpha,beta não triviais tais que alpha E1 + beta E2 = 0). Portanto elas formam uma base do subespaço.]

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base é
1 & 1[3pt]0 & 0, 0 & 1[3pt]1 & 1 ]

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