Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução dos sistemas:
rx+2 y-2 z-t=0 2 x+4 y+z+t=0 x+2 y+3 z+2 t=0

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear homogêneo em quatro incógnitas :
O conteúdo é resolução de sistema homogêneo por eliminação de Gauss, buscando a dimensão e uma base do espaço-solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e aplicamos eliminação de Gauss:
1 & 2 & -2 & -1 2 & 4 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2 ;xrightarrowR2to R2-2R1,;R3to R3-R1; 1 & 2 & -2 & -1 0 & 0 & 5 & 3 0 & 0 & 5 & 3
Como a segunda e a terceira linhas coincidem e não são nulas, o posto da matriz é 2.

Passo 3

Das equações pivô obtemos
da 2ª linha: 5z+3t=0, logo
z=-tfrac35t
Da 1ª linha:
x = -2y +2z + t = -2y +2l(-tfrac35tr) + t = -2y -tfrac65t + t = -2y -tfrac15t
Introduzimos parâmetros livres y = s e t = tau.

Passo 4

Escrevendo o vetor solução em função de s,tau:
(x,y,z,t) = l(-2s -tfrac15tau,;s,;-tfrac35tau,;taur) = s,(-2,1,0,0) ;+;tau,l(-tfrac15,0,-tfrac35,1r)
Para eliminar frações, multiplicamos o segundo vetor por 5 (isso não altera a dimensão do espaço gerado). Uma base inteira é
,(-2,1,0,0),;(-1,0,-3,5)
O número de parâmetros livres é 2, então a dimensão do espaço-solução é 2.

Resposta

Uma base do espaço-solução é (-2,1,0,0),,(-1,0,-3,5) e a dimensão é 2.

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