Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
S=(x, y, z, t) in R^4: x-2 y=0 e z=3 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial S=(x, y, z, t) in R^4: x-2 y=0 e z=3 t definido por:
Estamos lidando com espaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar identificar como as variáveis se relacionam e expressar os vetores de de uma maneira que facilite encontrar a base e a dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem :
  1. implica que .
  2. .
Isso significa que e estão diretamente determinados por e , respectivamente. As variáveis e podem ser escolhidas livremente, ou seja, elas são variáveis livres.

Passo 3

Vamos expressar cada componente do vetor (x, y, z, t) = (2y, y, 3t, t) em termos de e :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos fatorar (2y, y, 3t, t) = y cdot (2, 1, 0, 0) + t cdot (0, 0, 3, 1) e para separar os vetores:
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Esses vetores e formam uma base para , já que são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Passo 6

A dimensão do espaço vetorial é o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de é 2.

Resposta

A dimensão do espaço é 2, e uma base para é formada pelos vetores .

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