Determinar a dimensão e uma base do espaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para o espaço vetorial
definido por:
Estamos lidando com espaços vetoriais e sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar identificar como as variáveis se relacionam e expressar os vetores de
de uma maneira que facilite encontrar a base e a dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem
:
-
implica que . -
.
Isso significa que
e
estão diretamente determinados por
e
, respectivamente. As variáveis
e
podem ser escolhidas livremente, ou seja, elas são variáveis livres.
Passo 3
Vamos expressar cada componente do vetor
em termos de
e
:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
e
para separar os vetores:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Esses vetores
e
formam uma base para
, já que são linearmente independentes e geram todo o espaço
.
Passo 6
A dimensão do espaço vetorial
é o número de vetores na base. Como temos dois vetores na base, a dimensão de
é 2.
Resposta
A dimensão do espaço
é 2, e uma base para
é formada pelos vetores
.