Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, precisamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições fundamentais:
- Contém o vetor nulo.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Verificando se
contém o vetor nulo.
O vetor nulo em
é
. Substituindo na condição de
:
Temos:
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em
.
Passo 3
Verificando se
é fechado sob adição.
Para que
seja fechado sob adição, a soma de dois vetores quaisquer em
também deve estar em
. Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
Onde:
Somando os vetores
e
:
Para que
esteja em
, deve-se cumprir:
Expandindo o lado direito:
Sabemos que
e
, então:
Comparando com a expansão:
A menos que
, o que nem sempre acontece, a igualdade não se sustenta. Portanto,
não está necessariamente em
.
Passo 4
Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Embora já tenhamos identificado que
não é fechado sob adição, vamos ainda verificar essa última propriedade para completude.
Considere um vetor
em
e um escalar
:
Para que
esteja em
:
Substituindo
:
Isso implica que
, o que só é verdadeiro se
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se mantém. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
.