Verifique se os seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços: U=(x, y, z) in R^3: x=z^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, precisamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições fundamentais:
  1. Contém o vetor nulo.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando se x = z^2 contém o vetor nulo.
O vetor nulo em 0 = 0^2 é 0 = 0 . Substituindo na condição de :
Temos:
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em .

Passo 3

Verificando se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) é fechado sob adição.
Para que x1 = z1^2 seja fechado sob adição, a soma de dois vetores quaisquer em x2 = z2^2 também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) . Vamos considerar dois vetores quaisquer em x1 + x2 = (z1 + z2)^2 :
(z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Onde:
x1 + x2 = z1^2 + z2^2
z1^2 + z2^2 neq z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Somando os vetores e :
Para que esteja em , deve-se cumprir:
Expandindo o lado direito:
Sabemos que e , então:
Comparando com a expansão:
A menos que , o que nem sempre acontece, a igualdade não se sustenta. Portanto, não está necessariamente em .

Passo 4

Verificando se alpha u = (alpha x, alpha y, alpha z) é fechado sob multiplicação por escalar.
Embora já tenhamos identificado que alpha x = (alpha z)^2 não é fechado sob adição, vamos ainda verificar essa última propriedade para completude.
Considere um vetor alpha z^2 = alpha^2 z^2 em e um escalar :
Para que esteja em :
Substituindo :
Isso implica que , o que só é verdadeiro se ou . Para outros valores de , a igualdade não se mantém. Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto não é um subespaço de .

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