Dê um exemplo em mostrando que se o conjunto de vetores for L.D., então a representação de combinação linear não será única.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos dar um exemplo em (ou seja, no espaço tridimensional) mostrando que se um conjunto de vetores for linearmente dependente (L.D.), então a representação como combinação linear desses vetores não será única.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e como isso afeta a maneira como podemos escrever um vetor como combinação linear desses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores linearmente dependente. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que existe uma relação onde alguns coeficientes não todos zero multiplicando os vetores dão o vetor zero.
Por exemplo, se tivermos três vetores , e em , eles são linearmente dependentes se existir uma combinação como , onde pelo menos um dos coeficientes , ou não é zero.
Passo 3
Agora, vamos criar um conjunto de vetores em que seja linearmente dependente. Vamos escolher:
Observamos que w pode ser escrito como a soma de u e v, ou seja, w = u + v. Portanto, o conjunto u, v, w é linearmente dependente, pois w depende de u e v.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a representação como combinação linear não é única. Vamos escolher um vetor específico que queremos representar usando os vetores u, v e w. Por exemplo, vamos representar o vetor a = 2 2 0.
Primeiro, tentamos expressar a usando u e v:
a = 2u + 2v = 21 0 0 + 20 1 0 = 2 2 0
Agora, vamos tentar outra combina��ão envolvendo w:
Vemos que conseguimos representar o vetor a de duas maneiras diferentes usando o conjunto de vetores u, v, w:
a = 2u + 2v
a = 1w + 1u + 1v
Como existem pelo menos duas combinações diferentes para chegar ao mesmo vetor a, concluímos que a representação como combinação linear não é única quando o conjunto de vetores é linearmente dependente.
Resposta
Portanto, o conjunto de vetores u, v, w em R^3 é um exemplo onde, sendo linearmente dependente, a representação de um vetor como combinação linear não é única.