Determinar a distância d do plano pi : 3 x-12 y+4 z-3=0 ao ponto A=(3,-1,2) pelo seguinte processo:
a) Encontrar a equação da reta r, perpendicular ao plano pi, contendo A;
b) Encontrar o ponto B, pé da perpendicular por A no plano.
c) Determinar d como o comprimento do segmento A B.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância d entre o plano
pi:3x-12y+4z-3=0
e o ponto A=(3,-1,2) seguindo três etapas:
a) achar a reta r perpendicular a pi que passe por A;
b) determinar o pé da perpendicular B dessa reta sobre pi;
c) calcular d=lVert ABrVert.
Usaremos geometria analítica no espaço: vetor normal ao plano, reta paramétrica, interseção e norma de vetor.

Passo 2

O vetor normal ao plano pi é
n = (3,-12,4)
Logo, a reta r que passa por A=(3,-1,2) e é paralela a n tem equações paramétricas
x = 3 + 3t, y = -1 -12t, z = 2 + 4t

Passo 3

Para encontrar o ponto B onde r intersecta pi, substituímos as coordenadas de r na equação do plano:
3(3+3t)-12(-1-12t)+4(2+4t)-3=0
Isso dá
9+9t+12+144t+8+16t-3=0 Longrightarrow 169t+26=0 Longrightarrow t=-26169=-213
Substituindo t=-tfrac213 nas equações da reta, obtemos
B=l(3+3t,;-1-12t,;2+4tr) =l(tfrac3313,,tfrac1113,,tfrac1813r)

Passo 4

O vetor AB é
AB =l(xB-xA,;yB-yA,;zB-zAr) =l(-tfrac613,;tfrac2413,;-tfrac813r)
Portanto,
d=lVertABrVert =raizl(-tfrac613r)^2+l(tfrac2413r)^2+l(-tfrac813r)^2 =raiztfrac676169 =2

Resposta

A distância d solicitada é 2.

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