a) Prove que a distância entre duas retas paralelas cujas equações são A x+ B y+C=0 e A x+B y+C^prime=0 é:
|C-C^prime|raizA^2+B^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que a distância entre as retas paralelas
L1:;A x + B y + C = 0
e
L2:;A x + B y + C' = 0
é
l|C - C'r|raizA^2+B^2
O conteúdo envolvido é geometria analítica: vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Sabemos que a distância do ponto P(x0,y0) à reta
A x + B y + C' = 0
é dada por
d = l|A x0 + B y0 + C'r|raizA^2 + B^2

Passo 3

Como L1 e L2 são paralelas, basta escolher um ponto P(x0,y0) em L1 e calcular sua distância a L2.
Em L1 vale
A x0 + B y0 + C = 0 Longrightarrow A x0 + B y0 = -,C

Passo 4

Na fórmula da distância substituímos
A x0 + B y0 + C' = (-C) + C' = C' - C,
de modo que
d = l|C' - Cr|raizA^2 + B^2 = l|C - C'r|raizA^2 + B^2

Resposta

l|C - C'r|raizA^2 + B^2

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