Determinar a distância d do plano pi : 3 x-12 y+4 z-3=0 ao ponto A=(3,-1,2) pelo seguinte processo:
b) Encontrar o ponto B, pé da perpendicular por A no plano.

Passo 1

Temos o plano picolon 3x - 12y + 4z - 3 = 0 e o ponto A = (3,-1,2). Queremos encontrar o pé da perpendicular de A em pi, ou seja, o ponto Binpi tal que a reta AB seja ortogonal ao plano. Para isso, usaremos que a reta perpendicular a pi tem vetor diretor igual ao vetor normal do plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano é
n = (3,,-12,;4)
Logo, a reta L perpendicular a pi e passando por A tem equações paramétricas
x = 3 + 3t, y = -1 -12t, z = 2 + 4t

Passo 3

Para encontrar t tal que o ponto B = (3+3t,,-1-12t,;2+4t) esteja em pi, substituímos em 3x - 12y + 4z - 3 = 0:
3(3+3t) ;-;12(-1-12t);+;4(2+4t);-;3 ;=;0
Calculando,
9 + 9t +12 +144t +8 +16t -3 = 0 Longrightarrow 26 + 169t = 0 Longrightarrow t = -26169

Passo 4

Substituindo t = -tfrac26169 nas equações da reta, obtemos
Bx = 3 + 3l(-tfrac26169r) = 429 - 78169 = 3313,
By = -1 -12l(-tfrac26169r) = -169 + 312169 = 1113,
Bz = 2 + 4l(-tfrac26169r) = 338 - 104169 = 1813
Assim, o pé da perpendicular é B = l(tfrac3313,,tfrac1113,,tfrac1813r).

Resposta

B = l(tfrac3313,,tfrac1113,,tfrac1813r)

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