Determinar a distância entre o ponto A(1,-2,1) e o eixo dos x.

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(1,-2,1) e pede a distância desse ponto até o eixo dos x.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:\n
  • O ponto é A=(1,-2,1).\n
  • O eixo dos x em \mathbb{R}^3 é a reta formada por todos os pontos cuja coordenada y e z são zero, isto é, pontos (t,0,0) para t\in\mathbb{R}.\n
    O que precisamos encontrar: o menor valor da distância entre A e um ponto qualquer do eixo dos x.

Passo 2

Vamos parametrizar um ponto genérico P do eixo dos x por P(t,0,0), onde t é um número real.\n
A distância entre A e P é a norma do vetor \overrightarrow{AP} = P - A. Escrever essa norma ao quadrado facilita os cálculos (evita raiz durante a minimização).\n
Escrevemos a distância ao quadrado como função de t:
d^2(t)=\bigl(1-t\bigr)^2+(-2-0)^2+(1-0)^2.

Passo 3

Explicando a ideia: a distância entre um ponto e uma reta é mínima quando escolhemos t de modo que o segmento que liga o ponto à reta seja perpendicular à reta. Algebricamente, isso equivale a minimizar d^2(t) em relação a t. Minimizar d^2 é equivalente a minimizar d, mas com álgebra mais simples.\n
Agora simplificamos d^2(t):
d^2(t)=\bigl(1-t\bigr)^2+4+1=\bigl(1-t\bigr)^2+5.

Passo 4

Derivamos d^2(t) em relação a t e igualamos a zero para achar o mínimo:
\frac{d}{dt}d^2(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-t\bigr)^2 = 2\bigl(1-t\bigr)(-1)=-2(1-t).
Igualando a zero:
-2(1-t)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Portanto o ponto do eixo dos x mais próximo de A é P(1,0,0). Substituindo t=1 em d^2(t) obtemos o quadrado da distância:
d^2(1)= (1-1)^2+4+1 = 0+4+1 = 5.

Passo 5

Interpretação e fórmula geral: para um ponto qualquer (x_0,y_0,z_0), a projeção ortogonal sobre o eixo dos x é (x_0,0,0) e, por isso, a distância ao eixo dos x é
\sqrt{y_0^2+z_0^2}.
No caso de A(1,-2,1) isso corresponde a \sqrt{(-2)^2+1^2}, cujo quadrado já encontramos como 5.

Resposta

\sqrt{5}

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