Questão 7 Use o teorema do divergente para calcular
, onde
é a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a esfera
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a esfera de raio centrada na origem, isto é, a fronteira do volume que é a bola unitária .\n - O integrando é a função escalar
definida sobre a superfície.
Passo 2
Vamos transformar essa integral de superfície em um fluxo de um campo vetorial para poder usar um teorema (explico isso já já). Observação útil para a esfera unitária: o vetor normal externo unitário em cada ponto da esfera é exatamente
porque para pontos na esfera
, então a direção radial
já tem norma
.\n
Queremos que o produto escalar de algum campo vetorial
com esse normal seja exatamente
. Uma escolha natural e simples é tomar o campo constante
Queremos que o produto escalar
De fato, para esse
temos
ou seja, a integral dada é exatamente o fluxo de
através de
:
Passo 3
Agora lembro o enunciado do Teorema do Divergente (Gauss): para um campo vetorial
suficientemente suave e uma superfície fechada
que é a fronteira do volume
,
onde
é a divergência do campo, definida por
Explicando: o lado esquerdo é o fluxo total saindo pelo contorno
; o lado direito é a integral volumétrica da “taxa de criação” do campo dentro do volume. O teorema transforma uma integral de superfície em uma integral de volume, o que muitas vezes simplifica.
Passo 4
Calculo a divergência do campo escolhido
. Aplicando
,
Justificativa: derivada parcial de uma constante é zero.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Divergente:
A integral volumétrica de zero sobre qualquer volume é zero, logo o resultado é
.\n
Observação intuitiva alternativa (sem o teorema): pela simetria da esfera, as integrais de ,
e
sobre a superfície se anulam (cada coordenada tem áreas positivas e negativas que se cancelam), então a soma
também é zero.
Observação intuitiva alternativa (sem o teorema): pela simetria da esfera, as integrais de
Resposta
0