Questão 7 Use o teorema do divergente para calcular \iint_{S}(2 x+2 y+2 z) d S, onde S é a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (2x+2y+2z)\,dS
onde S é a esfera \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.\n
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a esfera de raio 1 centrada na origem, isto é, a fronteira do volume V que é a bola unitária x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1.\n
  • O integrando é a função escalar 2x+2y+2z definida sobre a superfície.

Passo 2

Vamos transformar essa integral de superfície em um fluxo de um campo vetorial para poder usar um teorema (explico isso já já). Observação útil para a esfera unitária: o vetor normal externo unitário em cada ponto da esfera é exatamente
\mathbf{n}=(x,y,z),
porque para pontos na esfera \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1, então a direção radial (x,y,z) já tem norma 1.\n
Queremos que o produto escalar \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} de algum campo vetorial \mathbf{F} com esse normal seja exatamente 2x+2y+2z. Uma escolha natural e simples é tomar o campo constante
\mathbf{F}=(2,2,2).
De fato, para esse \mathbf{F} temos
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=2\cdot x+2\cdot y+2\cdot z=2x+2y+2z,
ou seja, a integral dada é exatamente o fluxo de \mathbf{F} através de S:
\iint_{S} (2x+2y+2z)\,dS = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.

Passo 3

Agora lembro o enunciado do Teorema do Divergente (Gauss): para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) suficientemente suave e uma superfície fechada S que é a fronteira do volume V,
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV,
onde \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência do campo, definida por
\label{div} \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
Explicando: o lado esquerdo é o fluxo total saindo pelo contorno S; o lado direito é a integral volumétrica da “taxa de criação” do campo dentro do volume. O teorema transforma uma integral de superfície em uma integral de volume, o que muitas vezes simplifica.

Passo 4

Calculo a divergência do campo escolhido \mathbf{F}=(2,2,2). Aplicando [\ref{div}],
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(2)+\frac{\partial}{\partial y}(2)+\frac{\partial}{\partial z}(2)=0+0+0=0.
Justificativa: derivada parcial de uma constante é zero.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Divergente:
\iint_{S} (2x+2y+2z)\,dS = \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = \iiint_{V} 0\,dV.
A integral volumétrica de zero sobre qualquer volume é zero, logo o resultado é 0.\n
Observação intuitiva alternativa (sem o teorema): pela simetria da esfera, as integrais de x, y e z sobre a superfície se anulam (cada coordenada tem áreas positivas e negativas que se cancelam), então a soma 2\iint_S x\,dS + 2\iint_S y\,dS + 2\iint_S z\,dS também é zero.

Resposta

0

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