Diferencie
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada de
, ou seja,
.
Informações importantes que temos: é o produto de duas funções — uma função polinomial
e a função exponencial
. Não há mais dados adicionais.
Informações importantes que temos:
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para derivar uma função que é produto de duas funções. A regra do produto diz o seguinte: se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A ideia é: “deriva-se a primeira mantendo a segunda, mais deriva-se a segunda mantendo a primeira”.
Passo 3
Identificamos as duas funções no produto:
Agora calculamos as derivadas de cada uma (vou explicar as regras usadas):
- Regra da potência (usada para
): a derivada de é . Aplicando com obtemos
Explicação rápida: essa regra vem de aplicar a definição do limite ou expandindo binomialmente; para provas decore que funciona assim para inteiros
.
- Derivada da exponencial (usada para
): a função tem a propriedade especial de ser igual à sua própria derivada, portanto
Isso é uma propriedade fundamental de
— a cada derivada você volta a ter
.
Passo 4
Aplicamos a regra do produto trocando
pelos resultados:
Substituindo:
Passo 5
Agora fazemos uma simplificação/fatoração para deixar mais bonito e prático na hora da prova. Note que ambos os termos têm um fator comum
. Podemos fatorar
:
Se quisermos fatorar ainda mais, podemos tirar
também:
As formas
,
e
são todas equivalentes; eu prefiro
porque evidencia uma raiz em
do fator polinomial.