Diferencie
f(x)=x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=x^{2}e^{x} e pede para encontrar a derivada de f, ou seja, f'(x).
Informações importantes que temos: \displaystyle f(x) é o produto de duas funções — uma função polinomial \displaystyle x^{2} e a função exponencial \displaystyle e^{x}. Não há mais dados adicionais.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para derivar uma função que é produto de duas funções. A regra do produto diz o seguinte: se \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) são funções diferenciáveis, então
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui \displaystyle u'(x) é a derivada de \displaystyle u em relação a \displaystyle x e \displaystyle v'(x) é a derivada de \displaystyle v em relação a \displaystyle x. A ideia é: “deriva-se a primeira mantendo a segunda, mais deriva-se a segunda mantendo a primeira”.

Passo 3

Identificamos as duas funções no produto:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=e^{x}.
Agora calculamos as derivadas de cada uma (vou explicar as regras usadas):
  • Regra da potência (usada para u(x)=x^{2}): a derivada de \displaystyle x^{n} é \displaystyle n x^{n-1}. Aplicando com \displaystyle n=2 obtemos
u'(x) = 2x.
Explicação rápida: essa regra vem de aplicar a definição do limite ou expandindo binomialmente; para provas decore que funciona assim para inteiros n.
  • Derivada da exponencial (usada para v(x)=e^{x}): a função \displaystyle e^{x} tem a propriedade especial de ser igual à sua própria derivada, portanto
v'(x)=e^{x}.
Isso é uma propriedade fundamental de \displaystyle e^{x} — a cada derivada você volta a ter \displaystyle e^{x}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto trocando u,u',v,v' pelos resultados:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x) = (2x)\,e^{x} + (x^{2})\,e^{x}.

Passo 5

Agora fazemos uma simplificação/fatoração para deixar mais bonito e prático na hora da prova. Note que ambos os termos têm um fator comum \displaystyle e^{x}. Podemos fatorar \displaystyle e^{x}:
f'(x) = e^{x}\bigl(2x + x^{2}\bigr).
Se quisermos fatorar ainda mais, podemos tirar \displaystyle x também:
f'(x) = x\,e^{x}\bigl(x+2\bigr).
As formas \displaystyle 2x e^{x} + x^{2} e^{x}, \displaystyle e^{x}(x^{2}+2x) e \displaystyle x e^{x}(x+2) são todas equivalentes; eu prefiro \displaystyle x e^{x}(x+2) porque evidencia uma raiz em \displaystyle x=0 do fator polinomial.

Resposta

\displaystyle f'(x)=x\,e^{x}(x+2)

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