Determinar a distância do ponto \mathrm{A}(1,-3,5) ao plano 2 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}-7=0

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto A(1,-3,5) ao plano
2x - 2y + z - 7 = 0.
O conteúdo usado será a fórmula da distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A fórmula geral da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é
\mathrm{dist} = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 3

No nosso caso, comparando com 2x - 2y + z - 7=0, temos
A = 2,\quad B = -2,\quad C = 1,\quad D = -7,
e as coordenadas do ponto são
x_0 = 1,\quad y_0 = -3,\quad z_0 = 5.

Passo 4

Calculamos o numerador da fórmula:
\bigl|2\cdot1 + (-2)\cdot(-3) + 1\cdot5 - 7\bigr| = \bigl|2 + 6 + 5 - 7\bigr| = \bigl|6\bigr| = 6.

Passo 5

O denominador é
\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3.
Portanto, a distância é
\mathrm{dist} = \frac{6}{3} = 2.

Resposta

A distância do ponto A(1,-3,5) ao plano 2x - 2y + z - 7=0 é 2.

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