Questão 4: Ache a solução particular da E.D.O.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução particular da EDO
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (ansatz trigonométrico), já que o termo não homogêneo é
.
Passo 2
Primeiro, verificamos a homogênea associada
cuja equação característica é
com raiz dupla
. Assim,
Como
não coincide com nenhuma solução da homogênea, não há ressonância.
Passo 3
Propomos um ansatz da forma
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
vem
Passo 5
Agrupando termos em
e
:
Comparando com
obtemos o sistema
logo
Passo 6
Substituindo
e
no ansatz,
Resposta
A solução particular é