Questão 4: Ache a solução particular da E.D.O. y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\cos (t).

Passo 1

O enunciado pede a solução particular da EDO
y''-2y'+y=\cos(t).
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar (ansatz trigonométrico), já que o termo não homogêneo é \cos(t).

Passo 2

Primeiro, verificamos a homogênea associada
y''-2y'+y=0
cuja equação característica é
r^2-2r+1=0\;\Longrightarrow\;(r-1)^2=0,
com raiz dupla r=1. Assim,
y_h(t)=C_1e^{t}+C_2\,t\,e^{t}.
Como \cos(t) não coincide com nenhuma solução da homogênea, não há ressonância.

Passo 3

Propomos um ansatz da forma
y_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
y_p'(t)=-A\sin(t)+B\cos(t),
y_p''(t)=-A\cos(t)-B\sin(t).
Substituindo em y''-2y'+y vem
(-A\cos t - B\sin t)-2(-A\sin t + B\cos t)+(A\cos t + B\sin t)=\cos t.

Passo 5

Agrupando termos em \cos(t) e \sin(t):
(-A\cos t - B\sin t)+2A\sin t -2B\cos t +A\cos t +B\sin t =(-2B)\cos t + (2A)\sin t.
Comparando com \cos t obtemos o sistema
-2B=1, \quad 2A=0,
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B=-\tfrac12, \quad A=0.

Passo 6

Substituindo A e B no ansatz,
y_p(t)=0\cdot\cos t - \tfrac12\sin t =-\tfrac12\sin(t).

Resposta

A solução particular é
y_p(t)=-\tfrac12\sin(t).

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