Determinar a distância do ponto a reta:
c) ponto (7,7,4) à reta 6 x+2 y+z-4=0 e 6 x-y-2 z-10=0

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(7,7,4) à reta formada pela interseção das planas
Pi1:,6x+2y+z-4=0 e Pi2:,6x-y-2z-10=0. O conteúdo é geometria analítica no espaço e vamos usar a fórmula vetorial
d = |(P-Q)times vec v||vec v|,
onde vec v é o vetor diretor da reta e Q é um ponto sobre ela.

Passo 2

Para achar o vetor diretor vec v da reta, calculamos o produto vetorial dos vetores normais às planas. Como
vec n1 = (6,2,1), vec n2 = (6,-1,-2),
temos
vec v = vec n1 times vec n2 = (-3,18,-18)
Podemos simplificar por -3, obtendo
vec v=(1,-6,6).

Passo 3

Para determinar um ponto
Da primeira equação vem (y=2-3x]. Substituindo na segunda:

Logo podemos tomar

Passo 4

Calculamos o vetor QP que vai de Q a P:
QP = P - Q = l(7-tfrac43,,7-(-2),,4-0r) = l(tfrac173,,9,,4r)

Passo 5

Agora encontramos o produto vetorial
QPtimes vec v = l(tfrac173,9,4r)times(1,-6,6) = (78,-30,-43)
Sua norma é
l|QPtimes vec vr| = raiz78^2+(-30)^2+(-43)^2 = raiz8833
A norma de vec v é
|vec v| = raiz1^2+(-6)^2+6^2 = raiz73
Portanto a distância vale
d = raiz8833raiz73 = raiz883373 = raiz121 = 11

Resposta

11

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