Sejam respectivamente os espaços lineares gerados pelos conjuntos e . Determine as dimensões e bases dos subespaços e .
Passo 1
O enunciado define e em .
Queremos calcular as dimensões e fornecer bases para os subespaços e .
Passo 2
Como os geradores de são e , e o segundo não é múltiplo do primeiro, temos e uma base de é
Analogamente, os geradores de são e , que também são linearmente independentes, logo e uma base de é
Passo 3
Para achar
em temos
Igualando coordenada a coordenada,
Da terceira equação vem . Em seguida a primeira gera . Por fim, a segunda torna-se , que só é satisfeita por .
Logo , e o único vetor em comum é o vetor zero.
Passo 4
Como só há o vetor trivial em Vcap W, temos dim(Vcap W)=0 e
Vcap W=0
Passo 5
Pela fórmula da dimensão da soma,
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)=2+2-0=4
Como dim(V+W)=4 em R^4, segue que V+W= R^4. Uma base conveniente de V+W é a união das bases de V e W, pois esses quatro vetores são independentes:
(1,2,3,4),;(0,1,0,1),;(1,-1,0,0),;(2,1,2,1)
Resposta
dim(V+W)=4, base de V+W:
(1,2,3,4),;(0,1,0,1),;(1,-1,0,0),;(2,1,2,1)
dim(Vcap W)=0, base de Vcap W: varnothing (ou seja, Vcap W=0).