Sejam V, W subset R^4 respectivamente os espaços lineares gerados pelos conjuntos (1,2,3,4),(0,1,0,1) e (1,-1,0,0),(2,1,2,1). Determine as dimensões e bases dos subespaços V+W e V cap W.

Passo 1

O enunciado define
V=span(1,2,3,4),(0,1,0,1) e
W=span(1,-1,0,0),(2,1,2,1) em R^4.
Queremos calcular as dimensões e fornecer bases para os subespaços V+W e Vcap W.

Passo 2

Como os geradores de V são
(1,2,3,4) e (0,1,0,1), e o segundo não é múltiplo do primeiro, temos
dim V=2 e uma base de V é
(1,2,3,4),;(0,1,0,1)
Analogamente, os geradores de W são
(1,-1,0,0) e (2,1,2,1), que também são linearmente independentes, logo
dim W=2 e uma base de W é
(1,-1,0,0),;(2,1,2,1)

Passo 3

Para achar
em temos
Igualando coordenada a coordenada,
Da terceira equação vem . Em seguida a primeira gera . Por fim, a segunda torna-se
, que só é satisfeita por .
Logo , e o único vetor em comum é o vetor zero.

Passo 4

Como só há o vetor trivial em Vcap W, temos
dim(Vcap W)=0 e
Vcap W=0

Passo 5

Pela fórmula da dimensão da soma,
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)=2+2-0=4
Como dim(V+W)=4 em R^4, segue que V+W= R^4. Uma base conveniente de V+W é a união das bases de V e W, pois esses quatro vetores são independentes:
(1,2,3,4),;(0,1,0,1),;(1,-1,0,0),;(2,1,2,1)

Resposta

dim(V+W)=4, base de V+W:
(1,2,3,4),;(0,1,0,1),;(1,-1,0,0),;(2,1,2,1)
dim(Vcap W)=0, base de Vcap W: varnothing (ou seja, Vcap W=0).

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