Determinar o dominio de g(x)=3 x+8ln (x^2-2 x+1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função g(x) = 3x + 8ln(x^2 - 2x + 1) . Aqui, estamos trabalhando com funções racionais e logaritmos. Para encontrar o domínio, precisamos identificar todos os valores de x que deixam a função bem definida, ou seja, onde o denominador não é zero e o argumento do logaritmo é positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função que é ln(x^2 - 2x + 1) . Sabemos que o logaritmo natural, ln(a) , está definido apenas quando a > 0 . Então, precisamos garantir que x^2 - 2x + 1 > 0 .

Passo 3

Vamos resolver a inequação x^2 - 2x + 1 > 0 . Essa expressão é um trinômio do segundo grau que podemos fatorar:
x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Passo 4

Agora, temos (x - 1)^2 > 0 . Sabemos que um quadrado é sempre positivo ou zero. Então, (x - 1)^2 > 0 para todos os x exceto quando x - 1 = 0 , ou seja, x = 1 .

Passo 5

Portanto, o argumento do logaritmo é positivo para todos os x diferentes de 1. Além disso, precisamos garantir que o denominador ln(x^2 - 2x + 1) não seja igual a zero, pois a divisão por zero não é permitida.

Passo 6

Vamos encontrar quando ln(x^2 - 2x + 1) = 0 . Sabemos que ln(a) = 0 quando a = 1 . Então:
x^2 - 2x + 1 = 1
(x - 1)^2 = 1
x - 1 = pm 1
x = 1 pm 1 Rightarrow x = 2 ou x = 0

Passo 7

Então, precisamos excluir x = 0 e x = 2 do domínio, já que nesses valores o denominador seria zero.

Passo 8

Resumindo, o domínio de g(x) são todos os números reais exceto x = 1 , x = 0 e x = 2 .

Resposta

O domínio de g(x) é R setminus 0,,1,,2 .

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