Seja dado o campo vetorial F(x, y)=(x y, y) ao redor e através da curva a seguir alpha(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi. Calcule o fluxo.
Fluxo =ointC F N d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial F(x, y) = (x y, y) ao redor de uma curva alpha(t) = (cos(t), sin(t)), que é basicamente um círculo unitário. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente o fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas em regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial F através de uma curva C é dado por:
Fluxo = ointC F cdot N , ds
Aqui, N é o vetor normal à curva C e ds é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada pela curva C . O teorema diz que:
ointC F cdot N , ds = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde F = (P, Q) . No nosso caso, P = x y e Q = y .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial ypartial x = 0
partial Ppartial y = partial (x y)partial y = x
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
ointC F cdot N , ds = integral duplaD (0 - x) , dx , dy = -integral duplaD x , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla -integral duplaD x , dx , dy sobre a região D , que é o interior do círculo unitário x^2 + y^2 <= 1 . É mais fácil resolver isso em coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta) , e o elemento de área dx , dy = r , dr , dtheta .

Passo 6

Vamos converter a integral para coordenadas polares:
-integral duplaD x , dx , dy = -integral0^2pi integral0^1 (r costheta) cdot r , dr , dtheta = -integral0^2pi costheta integral0^1 r^2 , dr , dtheta
Primeiro, resolvemos a integral interna:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Então, a integral fica:
-13 integral0^2pi costheta , dtheta

Passo 7

Agora, integremos costheta de 0 a 2pi :
integral0^2pi costheta , dtheta = [ sintheta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0

Passo 8

Portanto, o fluxo é:
-13 cdot 0 = 0

Resposta

O fluxo do campo vetorial F(x, y) = (x y, y) ao redor da curva alpha(t) = (cos(t), sin(t)) é zero.

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