Seja dado o campo vetorial
ao redor e através da curva a seguir
. Calcule o fluxo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial
ao redor de uma curva
, que é basicamente um círculo unitário. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente o fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas em regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma curva
é dado por:
Aqui,
é o vetor normal à curva
e
é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para facilitar, vamos aplicar o Teorema de Green, que nos permite transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva
. O teorema diz que:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla
sobre a região
, que é o interior do círculo unitário
. É mais fácil resolver isso em coordenadas polares, onde
e
, e o elemento de área
.
Passo 6
Vamos converter a integral para coordenadas polares:
Primeiro, resolvemos a integral interna:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, integremos
de
a
:
Passo 8
Portanto, o fluxo é:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
ao redor da curva
é zero.