Seja dado o campo vetorial
ao redor e através da curva a seguir
. Calcule o trabalho.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva fechada
parametrizada por
e pede o trabalho
Estamos no conteúdo de integrais de linha em campo vetorial e podemos usar o fato de que
ou ainda o Teorema de Green para converter a integral de linha numa integral dupla sobre o disco interior.
Passo 2
Escrevemos
onde
e
. Pelo Teorema de Green, com orientação positiva (anti-horária),
sendo
o disco unitário.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
Passo 4
Fazemos a integral dupla em coordenadas polares
:
Isto é
Passo 5
Calculamos separadamente:
Portanto
Resposta
O trabalho ao longo da curva é
.