Seja dado o campo vetorial F(x, y)=(x y, y) ao redor e através da curva a seguir alpha(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi. Calcule o trabalho.
W=ointC F cdot T d s

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial ,F(x,y)=(x,y,;y) e a curva fechada C parametrizada por
alpha(t)=(cos t,;sen t), 0<= t<=2pi,
e pede o trabalho
W=ointC Fcdot T,ds
Estamos no conteúdo de integrais de linha em campo vetorial e podemos usar o fato de que
Fcdot T,ds=Fcdot d r
ou ainda o Teorema de Green para converter a integral de linha numa integral dupla sobre o disco interior.

Passo 2

Escrevemos
W=ointC Fcdot d r =ointC P,dx+Q,dy,
onde P(x,y)=x,y e Q(x,y)=y. Pelo Teorema de Green, com orientação positiva (anti-horária),
ointC P,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
sendo D o disco unitário.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial partial x(y)=0, partial Ppartial y =partial partial y(x,y)=x
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =0 - x =-x

Passo 4

Fazemos a integral dupla em coordenadas polares (x=rcostheta,;y=rsentheta):
W =integral duplaD(-x),dA =-integral duplaD rcostheta,dA =-integral0^2pi!integral0^1rcostheta,(r,dr,dtheta)
Isto é
W =-integral0^2picostheta,dtheta;integral0^1r^2,dr

Passo 5

Calculamos separadamente:
integral0^1r^2,dr =13, integral0^2picostheta,dtheta =0
Portanto
W =-l(integral0^2picostheta,dthetar)l(integral0^1r^2,drr) = - (0)cdot13 =0

Resposta

O trabalho ao longo da curva é W=0.

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