Determinar o domínio e faça um esboço geométrico do domínio das seguintes funções:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos determinar o domínio e fazer um esboço geométrico do domínio das funções:
Nesse processo, vamos usar conceitos de matemática que lidam com restrições de funções, como radiciação, divisão e logaritmos. Vamos analisar cada função separadamente, identificar as condições que precisam ser satisfeitas para que a função seja válida e, por fim, esboçar esses domínios no plano.
Passo 2
Vamos começar com a função
.
Primeiro, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque não podemos dividir por zero. Então:
Além disso, a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa, já que a raiz de um número negativo não é real. Então:
Portanto, para
estar definida, duas condições devem ser satisfeitas:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
.
Aqui, temos um logaritmo natural, e o argumento do logaritmo deve ser positivo, pois o logaritmo de zero ou de um número negativo não está definido nos números reais. Então:
Não há outras restrições para
e
além dessa, então o domínio de
é definido por:
Passo 4
Vamos resumir os domínios encontrados:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Vamos agora fazer um esboço geométrico desses domínios.
-
Domínio de
: - A inequação
representa uma região acima da reta no plano . - A restrição
significa que a linha está excluída desse domínio.
- A inequação
-
Domínio de
: - A inequação
representa a região onde está abaixo da parábola .
- A inequação
Resposta
O domínio de
é
e
, e o domínio de
é
. Os esboços geométricos correspondem às regiões mencionadas acima no plano
.