Determinar o domínio e faça um esboço geométrico do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=raizx+y+1x-1 e g(x, y)=x ln (y^2-x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos determinar o domínio e fazer um esboço geométrico do domínio das funções:
f(x, y) = raizx + y +1x -1 e g(x, y) = x ln (y^2 -x)
Nesse processo, vamos usar conceitos de matemática que lidam com restrições de funções, como radiciação, divisão e logaritmos. Vamos analisar cada função separadamente, identificar as condições que precisam ser satisfeitas para que a função seja válida e, por fim, esboçar esses domínios no plano.

Passo 2

Vamos começar com a função f(x, y) = raizx + y +1x -1 .
Primeiro, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque não podemos dividir por zero. Então:
x - 1 neq 0 implies x neq 1
Além disso, a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser não negativa, já que a raiz de um número negativo não é real. Então:
x + y + 1 >= 0 implies x + y >= -1
Portanto, para f(x, y) estar definida, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. x neq 1
  2. x + y >= -1

Passo 3

Agora, vamos analisar a função g(x, y) = x ln (y^2 -x) .
Aqui, temos um logaritmo natural, e o argumento do logaritmo deve ser positivo, pois o logaritmo de zero ou de um número negativo não está definido nos números reais. Então:
y^2 - x > 0 implies y^2 > x
Não há outras restrições para x e y além dessa, então o domínio de g(x, y) é definido por:
y^2 > x

Passo 4

Vamos resumir os domínios encontrados:
  • Para f(x, y) :
x neq 1 e x + y >= -1
  • Para g(x, y) :
y^2 > x

Passo 5

Vamos agora fazer um esboço geométrico desses domínios.
  • Domínio de f(x, y) :
    • A inequação x + y >= -1 representa uma região acima da reta y = -x -1 no plano xy .
    • A restrição x neq 1 significa que a linha x = 1 está excluída desse domínio.
  • Domínio de g(x, y) :
    • A inequação y^2 > x representa a região onde x está abaixo da parábola y^2 = x .

Resposta

O domínio de f(x, y) é x neq 1 e x + y >= -1 , e o domínio de g(x, y) é y^2 > x . Os esboços geométricos correspondem às regiões mencionadas acima no plano xy .

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