Discuta a monotonicidade e a limitação da seqüência dada. Determine se possível, o sup. e o inf. de cada seqüência. Justifique.
$
\left(\frac{2{n}}{1+2{n}}\right)
$

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 2^n1+2^n,
e pede para discutir sua monotonicidade, verificar se é limitada e, se possível, determinar supan e infan. Vamos usar o teste da razão para a monotonicidade e observar limites para estabelecer as cotas.

Passo 2

Para ver se (an) é crescente ou decrescente, calculamos a razão
an+1an = 2^n+11+2^n+12^n1+2^n = 2,1+2^n1+2^n+1 = 2 + 2^n+11 + 2^n+1
Como 2 + 2^n+1 > 1 + 2^n+1, segue
an+1an > 1,
logo an+1 > an para todo n. Portanto (an) é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar limites, notamos que para todo n
0 < 2^n Longrightarrow 0 < 2^n1+2^n < 1
Logo a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Como (an) é crescente e an<1 para todo n, tem-se
limntoinftyan = limntoinfty2^n1+2^n = 1
Portanto 1 é cota superior e, por ser limite de uma sequência crescente,
supan=1
(não é atingido). O menor valor ocorre em n=1, pois dali em diante a sequência só cresce. Como
a1 = 21+2 = 23,
segue
infan=a1=23

Resposta

(an) é estritamente crescente e fica sempre em 0< an<1.
infan= tfrac23 e supan=1.

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