Discuta a monotonicidade e a limitação da seqüência dada. Determine se possível, o sup. e o inf. de cada seqüência. Justifique.
$
\left(\frac{2{n}}{1+2{n}}\right)
$
$
\left(\frac{2{n}}{1+2{n}}\right)
$
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para discutir sua monotonicidade, verificar se é limitada e, se possível, determinar
e
. Vamos usar o teste da razão para a monotonicidade e observar limites para estabelecer as cotas.
Passo 2
Para ver se
é crescente ou decrescente, calculamos a razão
Como
, segue
logo
para todo
. Portanto
é estritamente crescente.
Passo 3
Para verificar limites, notamos que para todo
Logo a sequência é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 4
Como
é crescente e
para todo
, tem-se
Portanto
é cota superior e, por ser limite de uma sequência crescente,
(não é atingido). O menor valor ocorre em
, pois dali em diante a sequência só cresce. Como
segue