Determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se as seqüências convergem, encontre seus limites.
an=raizn+2-raizn

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = raizn+2 - raizn
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência, e vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando por seu conjugado:
an = raizn+2 - raizn = (raizn+2-raizn) cdot raizn+2+raiznraizn+2+raizn = (n+2)-nraizn+2+raizn = 2raizn+2+raizn

Passo 3

Reescrevendo
an = 2raizn+2+raizn,
vemos que, quando ntoinfty, tanto raizn+2 quanto raizn crescem sem limite.

Passo 4

Portanto,
limntoinfty an = limntoinfty 2raizn+2+raizn = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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