Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
d^2 yd x^2+4 y=0, y(x)=a cos (2 x)+b sen(2 x), para quaisquer constantes reais a, b

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos uma equação diferencial de segunda ordem, que é d^2 ydx^2 + 4y = 0, e uma função proposta y(x) = a cos(2x) + b sin(2x), onde a e b são constantes reais. A nossa missão é verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na equação para ver se tudo se equilibra direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de y(x). Sabemos que a derivada de cos(2x) é -2 sin(2x) e a derivada de sin(2x) é 2 cos(2x). Então, aplicando isso:
y'(x) = dydx = a cdot (-2 sin(2x)) + b cdot (2 cos(2x)) = -2a sin(2x) + 2b cos(2x)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y(x). Derivando y'(x):
y''(x) = d^2 ydx^2 = ddx(-2a sin(2x) + 2b cos(2x)) = -2a cdot 2 cos(2x) + 2b cdot (-2 sin(2x)) = -4a cos(2x) - 4b sin(2x)

Passo 4

Agora, vamos substituir y(x) e y''(x) na equação diferencial dada:
y''(x) + 4y(x) = (-4a cos(2x) - 4b sin(2x)) + 4(a cos(2x) + b sin(2x))

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
(-4a cos(2x) - 4b sin(2x)) + (4a cos(2x) + 4b sin(2x)) = 0

Passo 6

Viu só? Tudo se cancelou e deu zero. Isso significa que a equação diferencial foi satisfeita para qualquer valor de x, a e b. Portanto, a nossa função y(x) realmente resolve a equação diferencial.

Resposta

Sim, a função y(x) = a cos(2x) + b sin(2x) é uma solução para a equação diferencial d^2 ydx^2 + 4y = 0 para quaisquer constantes reais a e b .

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