Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. Justifique sua resposta.
, para quaisquer constantes reais
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: temos uma equação diferencial de segunda ordem, que é
, e uma função proposta
, onde
e
são constantes reais. A nossa missão é verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função e substituir na equação para ver se tudo se equilibra direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada de
. Sabemos que a derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Derivando
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial dada:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Viu só? Tudo se cancelou e deu zero. Isso significa que a equação diferencial foi satisfeita para qualquer valor de
,
e
. Portanto, a nossa função
realmente resolve a equação diferencial.
Resposta
Sim, a função
é uma solução para a equação diferencial
para quaisquer constantes reais
e
.