Esboce o gráfico da função abaixo: (É necessário deixar claro todo o estudo do comportamento da função.)
f(x)=x^2x^2+3

Passo 1

Beleza, galera! Vamos esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 3} $. Isso faz parte da matéria de matemática, mais especificamente de funções e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o domínio da função, encontrar interceptos, analisar os limites (comportamento para valores grandes de $ x $), derivar para ver onde a função está crescendo ou decrescendo, e finalmente, juntar tudo isso para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que a função pode assumir sem causar problemas, como divisão por zero.
Para $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 3} $, o denominador $ x^{2} + 3 $ nunca será zero porque $ x^{2} $ é sempre positivo ou zero, e somando 3 nunca dá zero. Então, o domínio é todos os números reais:
x í

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos, ou seja, onde a função corta os eixos $ x $ e $ y $.
  • Intercepto com o eixo $ y $: É o valor de $ f(x) $ quando $ x = 0 $.
    x
    Então, o intercepto com o eixo $ y $ é $ (0, 0) $.
  • Interceptos com o eixo $ x $: São os valores de $ x $ quando $ f(x) = 0 $.
    y
    Isso acontece quando o numerador é zero:
    y
    Então, o único intercepto com o eixo $ x $ é $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos analisar os limites, para entender o comportamento da função quando $ x $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.
x
Dividindo numerador e denominador por $ x^{2} $:
+infty
Então, a função se aproxima de 1 quando $ x $ vai para positivo ou negativo infinito. Isso significa que a reta $ y = 1 $ é uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos derivar a função para encontrar onde ela está crescendo ou decrescendo. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
A função é:
f(x) = x^2x^2 + 3
Usando a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(x^2 + 3) - x^2(2x)(x^2 + 3)^2
Simplificando:
f'(x) = 2x(x^2 + 3 - x^2)(x^2 + 3)^2 = 6x(x^2 + 3)^2
Agora, analisamos o sinal da derivada:
  • $ f’(x) > 0 $ quando $ x > 0 $: a função está crescendo.
  • $ f’(x) < 0 $ quando $ x < 0 $: a função está decrescendo.
  • $ f’(x) = 0 $ quando $ x = 0 $: ponto crítico, podemos conferir que é um mínimo.

Passo 6

Vamos determinar se há pontos de máximo ou mínimo na função.
Já vimos que $ x = 0 $ é um ponto crítico. Vamos ver o valor da função nesse ponto:
x = 0
Como a função está decrescendo para $ x < 0 $ e crescendo para $ x > 0 $, $ x = 0 $ é um mínimo absoluto.

Passo 7

Resumindo as informações:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Intercepto: Apenas $ (0, 0) $.
  • Assíntota horizontal: $ y = 1 $.
  • Comportamento:
    • Decresce para $ x < 0 $.
    • Cresce para $ x > 0 $.
  • Ponto de mínimo: $ (0, 0) $.

Resposta

O gráfico da função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2} + 3} $ é uma curva que passa pela origem, tem uma assíntota horizontal em $ y = 1 $, decresce para a esquerda de $ x = 0 $, cresce para a direita, e atinge um mínimo no ponto $ (0, 0) $.

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