Verifique se f é contínua nos pontos (0,0) e 1,1. f(x, y) = { (x*y)/(5*x) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma função definida de duas maneiras:
  • Para qualquer ponto diferente de , a função é .
  • No ponto , a função vale .
Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites em múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função quando . Observando , percebemos que podemos cancelar o no numerador e denominador, desde que . Então, a função fica:
Isso já facilita nossa análise, porque agora temos uma forma mais simples para a função em quase todos os pontos.

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade no ponto . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de deve ser igual a .
Como , usamos a forma simplificada . Calculando :
Agora, vamos calcular o limite quando tende a :
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, concluímos que é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade no ponto . Aqui, a função está definida de forma diferente: . Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .
Usando a forma simplificada para , vamos considerar diferentes caminhos para chegar em :
  1. Caminho pelo eixo :
    O limite é .
  2. Caminho pela reta onde é uma constante:
    Conforme tende a , tende a .
  3. Caminho pela curva :
    Conforme tende a , tende a .
Até aqui, parece que o limite é . Mas vamos testar outro caminho para ter certeza.
  1. Caminho onde não depende de , por exemplo, : Aqui, conforme tende a , sempre será .
Esse caminho mostra que o limite depende do caminho escolhido. No primeiro caso, o limite era e no último, . Como estamos obtendo limites diferentes dependendo do caminho, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

A função é contínua no ponto e não é contínua no ponto .

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