Verifique se
é contínua nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem uma função
definida de duas maneiras:
- Para qualquer ponto diferente de
, a função é . - No ponto
, a função vale .
Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites em múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
quando
. Observando
, percebemos que podemos cancelar o
no numerador e denominador, desde que
. Então, a função fica:
Isso já facilita nossa análise, porque agora temos uma forma mais simples para a função em quase todos os pontos.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade no ponto
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Como
, usamos a forma simplificada
. Calculando
:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
:
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, concluímos que
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade no ponto
. Aqui, a função está definida de forma diferente:
. Para verificar a continuidade, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
.
Usando a forma simplificada
para
, vamos considerar diferentes caminhos para chegar em
:
-
Caminho pelo eixo
: O limite é. -
Caminho pela reta
onde é uma constante: Conformetende a , tende a . -
Caminho pela curva
: Conformetende a , tende a .
Até aqui, parece que o limite é
. Mas vamos testar outro caminho para ter certeza.
- Caminho onde
não depende de , por exemplo, : Aqui, conforme tende a , sempre será .
Esse caminho mostra que o limite depende do caminho escolhido. No primeiro caso, o limite era
e no último,
. Como estamos obtendo limites diferentes dependendo do caminho, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
A função
é contínua no ponto
e não é contínua no ponto
.