Esboce o sólido e calcule integral0^5 integral0^raiz25-x^2 integral0^6 d z d y d xraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o sólido e calcularmos a integral tripla integral0^5 integral0^raiz25-x^2 integral0^6 d z d y d xraizx^2+y^2. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas cartesianas e, provavelmente, coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como visualizar o sólido e aplicar a mudança de coordenadas para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o sólido. Olhando os limites da integral:
  • x varia de 0 a 5.
  • Para cada x, y varia de 0 a raiz25 - x^2. Isso descreve a parte positiva de um círculo com raio 5 no primeiro quadrante.
  • z varia de 0 a 6, então o sólido é uma semicilindro com altura 6.
Então, o sólido é um quarto de cilindro, já que x e y são positivos, com base no primeiro quadrante de um círculo de raio 5 e altura de 6 unidades.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral. A expressão 1raizx^2+y^2 sugere que usar coordenadas cilíndricas pode simplificar as coisas, porque em coordenadas cilíndricas, r = raizx^2+y^2.
Em coordenadas cilíndricas:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O elemento de volume dV = r, dr, dtheta, dz
Vamos reescrever os limites:
  • r vai de 0 a 5 (raio do círculo).
  • theta vai de 0 a pi2 (primeiro quadrante).
  • z vai de 0 a 6.
Substituindo na integral:
integral0^pi2 integral0^5 integral0^6 1r cdot r, dz, dr, dtheta
Aqui, 1r cdot r = 1, simplificando a integral para:
integral0^pi2 integral0^5 integral0^6 dz, dr, dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integre em relação a z de 0 a 6:
integral0^6 dz = 6
  1. Agora, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^5 6, dr, dtheta
  1. Integre em relação a r de 0 a 5:
integral0^5 6, dr = 6r |0^5 = 6 times 5 = 30
  1. Agora, a integral fica:
integral0^pi2 30, dtheta
  1. Integre em relação a theta de 0 a pi2:
integral0^pi2 30, dtheta = 30theta |0^pi2 = 30 times pi2 = 15pi

Resposta

O valor da integral é 15pi.

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