Determinar o domínio das seguintes funções:
y=\frac{1}{\sqrt{2 x-|x|}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
y = \frac{1}{\sqrt{2x - |x|}}
Este é um problema de domínio de função real que envolve duas restrições:
  1. O radicando deve ser não-negativo, pois temos \sqrt{\cdot}.
  2. O denominador não pode ser zero, pois estamos dividindo por essa raiz.

Passo 2

Impondo que o radicando seja não-negativo e não nulo, escrevemos
2x - |x| > 0.
Isto garante simultaneamente que o argumento da raiz é \ge0 e diferente de zero.

Passo 3

Como há valor absoluto, analisamos dois casos:
Caso 1: x \ge 0.
Neste caso |x| = x. A desigualdade vira
2x - x > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > 0.
Caso 2: x < 0.
Aqui |x| = -x. A desigualdade fica
2x - (-x) > 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x > 0 \quad\Longrightarrow\quad x > 0.
Mas essa solução contradiz x<0. Logo não há x<0 que satisfaça.

Passo 4

Da análise dos dois casos concluímos que a única região que funciona é
x > 0.
Em x=0 o radicando vale zero e a raiz seria zero, tornando o denominador nulo (impossível). Para x<0 não vale nada.

Resposta

O domínio da função é
(0,\infty).

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