Resolver as inequações em \mathbb{R} :
\left|\frac{7-2 x}{5+3 x}\right| \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação de valor absoluto de uma função racional:
\left|\frac{7-2x}{5+3x}\right|\le 2.
O conteúdo é inequação envolvendo valor absoluto e fração; vamos precisar determinar o domínio, transformar em inequação polinomial (elevando ao quadrado) e resolver.

Passo 2

Determinar o domínio da expressão: exigimos 5+3x\neq 0, isto é,
x \neq -\frac{5}{3}.

Passo 3

Converter \left|\frac{7-2x}{5+3x}\right|\le 2 em forma sem valor absoluto, elevando ao quadrado ambos os lados (ambos não-negativos):
\left(\frac{7-2x}{5+3x}\right)^2 \le 4.

Passo 4

Multiplicar ambos os lados por (5+3x)^2\ge0 (lembrando de excluir depois x=-\tfrac53):
(7-2x)^2 \le 4\,(5+3x)^2.
Expandindo,
49 - 28x + 4x^2 \le 4\bigl(25 + 30x + 9x^2\bigr) =100 + 120x + 36x^2.
Passando tudo para um lado,
0 \le 100 + 120x + 36x^2 - (49 - 28x + 4x^2) =32x^2 + 148x + 51.

Passo 5

Temos a inequação polinomial
32x^2 + 148x + 51 \ge 0.
O coeficiente de x^2 é positivo, logo a parábola abre para cima e a desigualdade vale fora do intervalo entre as raízes.

Passo 6

Calcular as raízes de 32x^2+148x+51=0. O discriminante é
\Delta = 148^2 - 4\cdot32\cdot51 =15376 =124^2.
As raízes são
x = \frac{-148\pm124}{2\cdot32} \;\Longrightarrow\; x_1 = -\frac{272}{64} = -\frac{17}{4}, \quad x_2 = -\frac{24}{64} = -\frac{3}{8}.

Passo 7

Como 32>0, a condição 32x^2+148x+51\ge0 resulta em
x\le -\frac{17}{4} \quad\text{ou}\quad x\ge -\frac{3}{8}.

Passo 8

Interseção com o domínio x\neq -\tfrac{5}{3}: o ponto x=-\tfrac53\approx-1,667 está no intervalo \bigl(-\tfrac{17}{4},-\tfrac{3}{8}\bigr) que já não satisfaz a inequação, então não precisamos removê-lo da solução. Assim, a solução final é

Resposta

\boxed{ (-\infty,\,-\tfrac{17}{4}]\;\cup\;[-\tfrac{3}{8},\,+\infty) }.

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