Resolver as inequações em \mathbb{R} : \left|\frac{7-2 x}{5+3 x}\right| \leq 2
Passo 1
O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação de valor absoluto de uma função racional:
\left|\frac{7-2x}{5+3x}\right|\le 2.
O conteúdo é inequação envolvendo valor absoluto e fração; vamos precisar determinar o domínio, transformar em inequação polinomial (elevando ao quadrado) e resolver.
Passo 2
Determinar o domínio da expressão: exigimos 5+3x\neq 0, isto é,
x \neq -\frac{5}{3}.
Passo 3
Converter \left|\frac{7-2x}{5+3x}\right|\le 2 em forma sem valor absoluto, elevando ao quadrado ambos os lados (ambos não-negativos):
\left(\frac{7-2x}{5+3x}\right)^2 \le 4.
Passo 4
Multiplicar ambos os lados por (5+3x)^2\ge0 (lembrando de excluir depois x=-\tfrac53):
Interseção com o domínio x\neq -\tfrac{5}{3}: o ponto x=-\tfrac53\approx-1,667 está no intervalo \bigl(-\tfrac{17}{4},-\tfrac{3}{8}\bigr) que já não satisfaz a inequação, então não precisamos removê-lo da solução. Assim, a solução final é