Determinar o domínio das seguintes funções:
y=\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-x-2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
y = \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - x - 2}}.
Para que isso faça sentido, precisamos garantir que:
  1. A expressão dentro da raiz interna seja não-negativa.
  2. A expressão dentro da raiz externa seja não-negativa.

Passo 2

Analisamos a raiz interna: \sqrt{x^{2} - x - 2} existe se, e somente se,
x^{2} - x - 2 \ge 0.
Resolvendo a inequação quadrática:
x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)\ge 0
gera as soluções
x \le -1 \quad\text{ou}\quad x \ge 2.

Passo 3

Agora exigimos também
x - \sqrt{x^{2} - x - 2} \ge 0,
que equivale a \sqrt{x^{2} - x - 2} \le x. Como \sqrt{x^{2}-x-2}\ge 0, para essa desigualdade ser possível precisamos de x\ge 0. Sob x\ge 0, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sinal:
x^{2} - x - 2 \le x^{2} \quad\Longrightarrow\quad -\,x - 2 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -2.
A condição x\ge -2 é automática dado x\ge 0. Logo toda a restrição da raiz externa resume-se a x\ge 0.

Passo 4

Para a função existir, é preciso simultaneamente
x\le -1\;\lor\;x\ge 2 \quad\text{e}\quad x\ge 0.
A interseção dessas condições é x\ge 2.

Resposta

O domínio da função é
[\,2,\infty).

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