Determinar o domínio das seguintes funções:
y=\sqrt{-x}+\frac{1}{\sqrt{2+x}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
y = \sqrt{-x} \;+\;\frac{1}{\sqrt{2+x}}.
Para isso, vamos usar as condições de existência de uma raiz quadrada (argumento >=0) e de um denominador ( \neq 0).

Passo 2

Analisando \sqrt{-x}: o radicando deve satisfazer
-x \ge 0,
isto é, x \le 0.

Passo 3

Analisando \tfrac{1}{\sqrt{2+x}}: além de a raiz existir, seu valor não pode ser zero no denominador. Logo, precisa-se de
2 + x > 0,
pois se 2+x=0 a raiz seria zero e o denominador anulava-se. Dessa forma
x > -2.

Passo 4

O domínio da função é a interseção das duas condições
x \le 0 \quad\text{e}\quad x > -2,
isto é,
-2 < x \le 0.

Resposta

O domínio é \{x\in\mathbb{R}\mid -2 < x \le 0\}, ou em intervalo aberto-fechado: \,(-2,0]\,.

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