Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
f(x)=\sqrt{x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O enunciado nos pede o domínio, os zeros e o estudo de sinal da função
f(x)=\sqrt{x^{2}-5x+6}.
Como temos uma raiz quadrada, precisamos garantir que o radicando x^{2}-5x+6 seja maior ou igual a zero.

Passo 2

Para achar o domínio, resolvemos a desigualdade
x^{2}-5x+6\ge0.
Fatorando o polinômio, temos
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Como é uma parábola com concavidade para cima, o produto (x-2)(x-3) é não negativo quando
x\le2\quad\text{ou}\quad x\ge3.
Logo, o domínio de f é
(-\infty,2]\cup[3,\infty).

Passo 3

Os zeros de f ocorrem quando o valor da raiz é zero, isto é, quando o radicando se anula:
x^{2}-5x+6=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=3.
Portanto, os zeros de f são x=2 e x=3.

Passo 4

Para o estudo de sinal, observamos que dentro do domínio f(x) é a raiz de um número não negativo, logo:
  • Se x<2 ou x>3, então x^{2}-5x+6>0 e \sqrt{x^{2}-5x+6}>0.
  • Em x=2 e x=3, o radicando vale zero, então \sqrt{0}=0.
  • Em 2<x<3 a função não está definida.

Resposta

Domínio: (-\infty,2]\cup[3,\infty)
Zeros: x=2 e x=3
Sinal: \,f(x)>0 em (-\infty,2)\cup(3,\infty), \,f(x)=0 em \{2,3\}, \,f não definida em (2,3).

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