Determine o domínio, os zeros e faça o estudo de sinal das funções abaixo:
g(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}-8 x}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função racional
g(x)=\frac{x^{2}-1}{x^{3}-8x}\,.
O conteúdo é análise de função racional: para isso precisamos (1) achar o domínio excluindo onde o denominador zera, (2) encontrar os zeros resolvendo o numerador igual a zero, e (3) estudar o sinal analisando o sinal de cada fator nos intervalos definidos pelos zeros do numerador e do denominador.

Passo 2

O denominador é
x^{3}-8x = x\,(x^{2}-8) = x\,(x-2\sqrt{2})\,(x+2\sqrt{2})\,.
Para o domínio não podemos ter denominador zero, logo
x\neq 0,\quad x\neq 2\sqrt{2},\quad x\neq -2\sqrt{2}.
Portanto
\text{Dom}(g)=\mathbb{R}\setminus\{\,0,\pm2\sqrt{2}\}.

Passo 3

Os zeros de g vêm de x^{2}-1=0, isto é
x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Como \pm1 não estão excluídos do domínio, são zeros válidos de g.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de cada fator:
  1. x^{2}-1 é positivo para |x|>1 e negativo para -1<x<1.
  2. x é negativo para x<0 e positivo para x>0.
  3. x^{2}-8 é negativo para -2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2} e positivo fora desse intervalo.
Os pontos críticos (onde algum fator muda de sinal ou função não existe) são
-2\sqrt{2},\;-1,\;0,\;1,\;2\sqrt{2}.

Passo 5

Em cada intervalo entre esses pontos, combinamos os sinais de numerador e denominador: \,x< -2\sqrt{2}: numerador >0, denominador x\,(x^{2}-8)<0; \Longrightarrow g(x)<0. -2\sqrt{2}<x< -1: numerador >0, denominador >0; \Longrightarrow g(x)>0. -1<x<0: numerador <0, denominador >0; \Longrightarrow g(x)<0. 0<x<1: numerador <0, denominador <0; \Longrightarrow g(x)>0. 1<x<2\sqrt{2}: numerador >0, denominador <0; \Longrightarrow g(x)<0. x>2\sqrt{2}: numerador >0, denominador >0; \Longrightarrow g(x)>0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0,\pm2\sqrt{2}\}.
Zeros: x=-1 e x=1.
Estudo de sinal: g(x)<0 em (-\infty,-2\sqrt{2}), (-1,0) e (1,2\sqrt{2}). g(x)>0 em (-2\sqrt{2},-1), (0,1) e (2\sqrt{2},\infty).

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