Para determinar como uma dose experimental de anestesia afeta homens e mulheres, uma amostra de 15 homens e 17 mulheres foi selecionada aleatoriamente de uma clínica odontológica e seus tempos de reação (em minutos) registrados. As seguintes estatísticas sumarizam os dados:
Estatística Homens Mulheres
Média 4,8 4,4
Desvio-padrão 0,8 0,9
Admitindo que a variabilidade do tempo de reação seja a mesma para homens e para mulheres e usando alpha=0,05, teste se existe diferença significativa entre os tempos de reação de homens e mulheres.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se existe uma diferença significativa nos tempos de reação entre homens e mulheres após uma dose de anestesia. Para isso, vamos usar testes estatísticos, especificamente o teste t para duas amostras independentes com variâncias iguais. Vamos precisar dos dados das médias, desvios-padrão e tamanhos das amostras para fazer os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula ( H0) é que não há diferença nos tempos de reação entre homens e mulheres, ou seja, as médias são iguais. A hipótese alternativa ( Ha) é que existe uma diferença nas médias.
H0: muhomens = mumulheres
Ha: muhomens neq mumulheres

Passo 3

Como temos duas amostras independentes e assumimos que as variâncias são iguais, vamos usar o teste t para duas amostras com variâncias iguais. A fórmula para o t é:
t = barX1 - barX2sp cdot raiz1n1 + 1n2
Onde:
  • barX1 e barX2 são as médias das amostras.
  • sp é o desvio-padrão combinado (pooled standard deviation).
  • n1 e n2 são os tamanhos das amostras.

Passo 4

Vamos calcular o desvio-padrão combinado ( sp) usando a fórmula:
sp = raiz(n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2
Onde:
  • s1 e s2 são os desvios-padrão das amostras de homens e mulheres, respectivamente.
Substituindo os valores:
sp = raiz(15 - 1)(0,8)^2 + (17 - 1)(0,9)^215 + 17 - 2 = raiz14 times 0,64 + 16 times 0,8130 = raiz8,96 + 12,9630 = raiz21,9230 approx raiz0,7307 approx 0,8542

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor do t usando a fórmula mencionada:
t = 4,8 - 4,40,8542 cdot raiz115 + 117 = 0,40,8542 cdot raiz0,0667 + 0,0588 = 0,40,8542 cdot raiz0,1255 = 0,40,8542 cdot 0,3543 approx 0,40,3025 approx 1,323

Passo 6

Agora precisamos comparar o valor calculado de t com o valor crítico da distribuição t para um nível de significância de alpha = 0,05 e graus de liberdade df = n1 + n2 - 2 = 15 + 17 - 2 = 30.
Consultando uma tabela t, para df = 30 e alpha = 0,05 em um teste bicaudal, o valor crítico é aproximadamente 2,042.

Passo 7

Como o valor calculado de t ( 1,323) é menor que o valor crítico ( 2,042), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidências suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa nos tempos de reação entre homens e mulheres sob a dose experimental de anestesia ( p > 0,05).

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