Um estudo sobre o uso de cinto de segurança envolveu crianças hospitalizadas em consequência de acidentes com veículos motorizados. Para um grupo de 290 crianças que não usavam o cinto, o número médio de dias passados em uma UTI foi 1,39 e para 123 crianças que usavam o cinto, o número médio de dias passados na UTI acusou média de 0,83 . Os desvios-padrão do número de dias passados na UTI são assumidos conhecidos, sendo que para crianças que não usavam o cinto foi de 3,06 dias e para as que usavam cinto, 1,77 dias. No nível de 0,01 de significância, teste a afirmação de que as crianças que não usam cinto de segurança apresentam maior tempo médio de internação em UTI. Com base no resultado, há evidência significativa que favoreça o uso do cinto de segurança pelas crianças?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem um estudo que compara o tempo médio que crianças passaram na UTI após acidentes de carro, divididas em dois grupos: as que usaram cinto de segurança e as que não usaram. Queremos saber se, realmente, crianças que não usam cinto passam mais tempo na UTI do que aquelas que usam. Para isso, vamos usar um teste estatístico chamado teste de hipótese para duas médias, assumindo que as variâncias são conhecidas. Vamos precisar dos valores das médias, desvios-padrão, tamanhos das amostras e do nível de significância (que aqui é 0,01).

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula (H₀): Não há diferença no tempo médio de internação na UTI entre crianças que usam e não usam cinto de segurança. Matematicamente, isso é $ \mu_{não usa} = \mu_{usa} $.
  • Hipótese alternativa (H₁): Crianças que não usam cinto de segurança têm um tempo médio de internação na UTI maior do que as que usam. Ou seja, $ \mu_{não usa} > \mu_{usa} $.

Passo 3

Agora, vamos definir qual teste vamos usar. Como temos duas médias com desvios-padrão conhecidos e amostras grandes, podemos usar o teste z para duas médias. A fórmula do teste z é:
z = (barX1 - barX2) - (mu1 - mu2)raizsigma1^2n1 + sigma2^2n2
Onde:
  • $ \bar{X}_1 $ e $ \bar{X}_2 $ são as médias das amostras,
  • $ \mu_1 - \mu_2 $ é a diferença das médias sob a hipótese nula (quiçá zero),
  • $ \sigma_1 $ e $ \sigma_2 $ são os desvios-padrão,
  • $ n_1 $ e $ n_2 $ são os tamanhos das amostras.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
  • Média do grupo que não usou cinto: $ \bar{X}_1 = 1,39 $ dias
  • Média do grupo que usou cinto: $ \bar{X}_2 = 0,83 $ dias
  • Desvio-padrão do grupo que não usou: $ \sigma_1 = 3,06 $ dias
  • Desvio-padrão do grupo que usou: $ \sigma_2 = 1,77 $ dias
  • Tamanho da amostra que não usou: $ n_1 = 290 $
  • Tamanho da amostra que usou: $ n_2 = 123 $
Substituindo na fórmula:
barX1 = 1,39
Vamos calcular passo a passo:
  1. Diferença das médias: $ 1,39 - 0,83 = 0,56 $
  2. Variâncias divididas pelos tamanhos das amostras:
    • $ \frac{3,06^2}{290} = \frac{9,3636}{290} \approx 0,0323 $
    • $ \frac{1,77^2}{123} = \frac{3,1329}{123} \approx 0,0255 $
  3. Soma das duas: $ 0,0323 + 0,0255 = 0,0578 $
  4. Raiz quadrada dessa soma: $ \sqrt{0,0578} \approx 0,2403 $
  5. Agora, divide a diferença das médias pela raiz:
    • $ z = \frac{0,56}{0,2403} \approx 2,33 $

Passo 5

Agora, precisamos ver se esse valor de z é significativo. Como nosso nível de significância é 0,01 e estamos testando se uma média é maior que a outra, é um teste unilateral (direcional). Olhando na tabela de valores z, o valor crítico para 0,01 de significância em um teste unilateral é aproximadamente 2,33.
Então, nosso valor calculado de z é 2,33, que é igual ao valor crítico.

Passo 6

Como o valor calculado de z (2,33) é igual ao valor crítico (2,33), estamos exatamente no ponto de decisão. Em testes estatísticos, se o valor calculado for igual ou maior que o crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula ao nível de 0,01 de significância. Isso indica que há evidência significativa para afirmar que crianças que não usam cinto de segurança passam, em média, mais tempo na UTI do que aquelas que usam o cinto. Portanto, os resultados favorecem o uso do cinto de segurança pelas crianças.

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