Seja
uma variável aleatória com distribuição
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 100, ou seja, $ X \sim N(10, 100) $. O que a gente precisa calcular é a probabilidade de $ X $ ser maior que 15, ou seja, $ P(X > 15) $. Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal e padronização.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição normal. Nessa distribuição, os dados estão distribuídos de forma simétrica em torno da média. A variância nos dá uma ideia de quão espalhados os dados estão. Aqui, a variância é 100, então o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, é $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $.
Passo 3
Agora, para calcular a probabilidade $ P(X > 15) $, vamos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. A padronização é feita com a fórmula:
Onde:
- $ X $ é o valor que estamos analisando (15),
- $ \mu $ é a média (10),
- $ \sigma $ é o desvio padrão (10).
Vamos calcular:
Passo 4
Com o valor de $ z $ calculado, agora precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá $ P(Z \leq z) $, mas como queremos $ P(Z > z) $, usamos a relação:
Consultando a tabela, encontramos que $ P(Z \leq 0,5) $ é aproximadamente 0,6915.
Passo 5
Agora, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade desejada:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser maior que 15 é aproximadamente 30,85%.