Seja X uma variável aleatória com distribuição N(10,100), calcule:
P(x>15)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 100, ou seja, $ X \sim N(10, 100) $. O que a gente precisa calcular é a probabilidade de $ X $ ser maior que 15, ou seja, $ P(X > 15) $. Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição normal. Nessa distribuição, os dados estão distribuídos de forma simétrica em torno da média. A variância nos dá uma ideia de quão espalhados os dados estão. Aqui, a variância é 100, então o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, é $ \sigma = \sqrt{100} = 10 $.

Passo 3

Agora, para calcular a probabilidade $ P(X > 15) $, vamos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão. A padronização é feita com a fórmula:
P(X > 15)
Onde:
  • $ X $ é o valor que estamos analisando (15),
  • $ \mu $ é a média (10),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão (10).
Vamos calcular:
z = X - musigma

Passo 4

Com o valor de $ z $ calculado, agora precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. A tabela nos dá $ P(Z \leq z) $, mas como queremos $ P(Z > z) $, usamos a relação:
z
Consultando a tabela, encontramos que $ P(Z \leq 0,5) $ é aproximadamente 0,6915.

Passo 5

Agora, subtraímos esse valor de 1 para encontrar a probabilidade desejada:
P(Z > 0,5) = 1 - 0,6915 = 0,3085

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser maior que 15 é aproximadamente 30,85%.

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