Determinar os elementos da cônica abaixo:
Da elipse dada pela equação
(x-4)^29+(y+2)^225=1
(centro, vértices e focos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os elementos principais de uma elipse a partir da sua equação. A matéria aqui é Geometria Analítica, focando nas cônicas, mais especificamente nas elipses. Para resolver isso, vamos precisar identificar o centro da elipse, os vértices e os focos. Bora entender como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão da equação de uma elipse:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Olha só a equação que a gente tem:
(x-4)^29 + (y+2)^225 = 1
Comparando com a forma padrão, podemos identificar:
  • h = 4
  • k = -2
  • a^2 = 25 então a = 5
  • b^2 = 9 então b = 3

Passo 4

Agora que sabemos h e k, podemos dizer que o centro da elipse é (4, -2).

Passo 5

Para achar os vértices, a gente usa os valores de a e b. Já que a > b, o eixo maior é o vertical. Então, os vértices ficam a uma distância a acima e abaixo do centro:
  • Vértice superior: (4, -2 + 5) = (4, 3)
  • Vértice inferior: (4, -2 - 5) = (4, -7)

Passo 6

Agora, vamos encontrar os focos. A gente precisa calcular a distância c dos focos em relação ao centro, usando a fórmula:
c = raiza^2 - b^2
Substituindo os valores:
c = raiz25 - 9 = raiz16 = 4
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam acima e abaixo do centro:
  • Foco superior: (4, -2 + 4) = (4, 2)
  • Foco inferior: (4, -2 - 4) = (4, -6)

Resposta

Então, os elementos da elipse são:
  • Centro: (4, -2)
  • Vértices: (4, 3) e (4, -7)
  • Focos: (4, 2) e (4, -6)

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