Determinar os elementos da cônica abaixo:
Da elipse dada pela equação
(centro, vértices e focos)
Da elipse dada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os elementos principais de uma elipse a partir da sua equação. A matéria aqui é Geometria Analítica, focando nas cônicas, mais especificamente nas elipses. Para resolver isso, vamos precisar identificar o centro da elipse, os vértices e os focos. Bora entender como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma padrão da equação de uma elipse:
Aqui,
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Olha só a equação que a gente tem:
Comparando com a forma padrão, podemos identificar:
-
-
-
então -
então
Passo 4
Agora que sabemos
e
, podemos dizer que o centro da elipse é
.
Passo 5
Para achar os vértices, a gente usa os valores de
e
. Já que
, o eixo maior é o vertical. Então, os vértices ficam a uma distância
acima e abaixo do centro:
- Vértice superior:
- Vértice inferior:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os focos. A gente precisa calcular a distância
dos focos em relação ao centro, usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Como o eixo maior é vertical, os focos ficam acima e abaixo do centro:
- Foco superior:
- Foco inferior:
Resposta
Então, os elementos da elipse são:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e