Determinar os elementos da cônica abaixo:
Da hipérbole dada pela equaçāo
(centro, vértices e focos)
Da hipérbole dada pela equaçāo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os elementos principais da hipérbole dada pela equação
. Isso inclui o centro da hipérbole, seus vértices e os focos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e a forma padrão da equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação da hipérbole agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
. Começamos fatorando os coeficientes das variáveis quadráticas:
Passo 4
Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair o mesmo valor dentro dos parênteses. Vamos fazer isso para
:
O coeficiente de
é -8. Metade disso é -4, e ao quadrado é 16.
Simplificando:
Passo 5
Fazemos o mesmo para
. O coeficiente de
é 10. Metade disso é 5, e ao quadrado é 25.
Simplificando:
Passo 6
Agora, distribuímos os coeficientes:
Juntando os termos constantes:
Passo 7
Vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 30 para obter a forma padrão:
Passo 8
Agora, temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Passo 9
Para encontrar os focos, usamos a fórmula
:
Passo 10
Agora, podemos determinar os elementos da hipérbole:
- Centro:
- Vértices: São localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo :
- Focos: Localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo :
Resposta
Os elementos da hipérbole são:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e