Determinar os elementos da cônica abaixo:
Da hipérbole dada pela equaçāo
5 x^2-2 y^2-40 x-20 y=0
(centro, vértices e focos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os elementos principais da hipérbole dada pela equação 5x^2 - 2y^2 - 40x - 20y = 0. Isso inclui o centro da hipérbole, seus vértices e os focos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e a forma padrão da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da hipérbole agrupando os termos de x e y:
5x^2 - 40x - 2y^2 - 20y = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e y. Começamos fatorando os coeficientes das variáveis quadráticas:
5(x^2 - 8x) - 2(y^2 + 10y) = 0

Passo 4

Para completar o quadrado, precisamos adicionar e subtrair o mesmo valor dentro dos parênteses. Vamos fazer isso para x:
O coeficiente de x é -8. Metade disso é -4, e ao quadrado é 16.
5(x^2 - 8x + 16 - 16) - 2(y^2 + 10y) = 0
Simplificando:
5((x - 4)^2 - 16) - 2(y^2 + 10y) = 0

Passo 5

Fazemos o mesmo para y. O coeficiente de y é 10. Metade disso é 5, e ao quadrado é 25.
5((x - 4)^2 - 16) - 2(y^2 + 10y + 25 - 25) = 0
Simplificando:
5((x - 4)^2 - 16) - 2((y + 5)^2 - 25) = 0

Passo 6

Agora, distribuímos os coeficientes:
5(x - 4)^2 - 80 - 2(y + 5)^2 + 50 = 0
Juntando os termos constantes:
5(x - 4)^2 - 2(y + 5)^2 - 30 = 0

Passo 7

Vamos isolar os termos quadráticos:
5(x - 4)^2 - 2(y + 5)^2 = 30
Dividindo tudo por 30 para obter a forma padrão:
(x - 4)^26 - (y + 5)^215 = 1

Passo 8

Agora, temos a equação da hipérbole na forma padrão:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
h = 4, k = -5, a^2 = 6 Rightarrow a = raiz6, b^2 = 15 Rightarrow b = raiz15

Passo 9

Para encontrar os focos, usamos a fórmula c = raiza^2 + b^2:
c = raiz6 + 15 = raiz21

Passo 10

Agora, podemos determinar os elementos da hipérbole:
  • Centro: (h, k) = (4, -5)
  • Vértices: São localizados a uma distância a do centro ao longo do eixo x:
(4 pm raiz6, -5)
  • Focos: Localizados a uma distância c do centro ao longo do eixo x:
(4 pm raiz21, -5)

Resposta

Os elementos da hipérbole são:
  • Centro: (4, -5)
  • Vértices: (4 + raiz6, -5) e (4 - raiz6, -5)
  • Focos: (4 + raiz21, -5) e (4 - raiz21, -5)

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