O vidro de uma janela possui transmissividade equivalente a 0,9 entre 0,3 \mu \mathrm{~m} e 0,9 \mu \mathrm{~m}, sendo opaco aos demais comprimentos de onda. Determinar a fração da radiação transmitida para uma irradiação proveniente de uma superfície negra a 5800 K e a 330 K .

Passo 1

O enunciado diz que o vidro tem transmissividade \tau=0,9 somente no intervalo de comprimentos de onda 0,3\\ \mu\mathrm{m}\le\lambda\le0,9\\ \mu\mathrm{m}, sendo opaco fora dele. Queremos a fração da potência emitida por um corpo negro à temperatura T que é transmitida pelo vidro. O conteúdo usado é a distribuição espectral de Planck e a definição da irradiância total de um negro.

Passo 2

Chamemos de E_T a irradiância total de um corpo negro à temperatura T,
E_T=\int_{0}^{\infty}M_\lambda(T)\,d\lambda
e de E_{0,3\to0,9} a irradiância no intervalo [0,3\,\mu\mathrm{m},0,9\,\mu\mathrm{m}],
E_{0,3\to0,9}=\int_{0,3\,\mu\mathrm{m}}^{0,9\,\mu\mathrm{m}}M_\lambda(T)\,d\lambda.
A fração de energia emitida nesse intervalo é
f(T)=\frac{E_{0,3\to0,9}}{E_T},
e a fração transmitida pelo vidro será
F(T)=\tau\,f(T)=0,9\,\frac{\displaystyle\int_{0,3}^{0,9}M_\lambda(T)\,d\lambda}{\displaystyle\int_{0}^{\infty}M_\lambda(T)\,d\lambda}.

Passo 3

Para avaliar f(T) é usual passar à variável adimensional
x=\frac{hc}{\lambda k_B T},
sob a qual
f(T) =\frac{\displaystyle\int_{\lambda_1}^{\lambda_2}M_\lambda(T)\,d\lambda} {\displaystyle\int_{0}^{\infty}M_\lambda(T)\,d\lambda} =\frac{\displaystyle\int_{x_2}^{x_1}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} {\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}\,dx},
onde \lambda_1=0{,}3\,\mu\mathrm{m},\,\lambda_2=0{,}9\,\mu\mathrm{m} e
x_1=\frac{hc}{\lambda_1 k_B T}, \quad x_2=\frac{hc}{\lambda_2 k_B T},
e o denominador é um valor fixo \displaystyle\int_0^\infty x^3/(e^x-1)\,dx=\pi^4/15.

Passo 4

Calculamos x_1,x_2 para cada temperatura usando hc/k_B=0,014387\\ \mathrm{m\cdot K}:
Para T=5800\\ \mathrm K:
x_1=\frac{0,014387}{0,3\times10^{-6}\times5800}\approx8{,}27, \quad x_2=\frac{0,014387}{0,9\times10^{-6}\times5800}\approx2{,}76.
Para T=330\\ \mathrm K:
x_1=\frac{0,014387}{0,3\times10^{-6}\times330}\approx145, \quad x_2=\frac{0,014387}{0,9\times10^{-6}\times330}\approx48{,}4.

Passo 5

Consultando tabelas ou software que forneçam
F(x)=\frac{\displaystyle\int_0^x\frac{u^3}{e^u-1}\,du}{\displaystyle\int_0^\infty\frac{u^3}{e^u-1}\,du},
obtém-se aprox.:
Para T=5800\\ \mathrm K:
F(8{,}27)\approx0{,}999,\quad F(2{,}76)\approx0{,}40,
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f(5800) =F(8{,}27)-F(2{,}76)\approx0{,}999-0{,}40=0{,}599,
e
F(5800)=0,9\times0{,}599\approx0{,}54.
Para T=330\\ \mathrm K:
F(48{,}4)\approx1{,}000,\quad F(145)\approx1{,}000,
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f(330)=F(48{,}4)-F(145)\approx0,
e
F(330)=0,9\times0\approx0.

Resposta

Para uma superfície negra a
(a) T=5800\\ \mathrm K: a fração transmitida é aproximadamente 0,54 (54 %).
(b) T=330\\ \mathrm K: a fração transmitida é desprezível ( \approx0).

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