Determinar a entropia de aquecimento de 298 K até 1000 K das seguintes substâncias:
  • \mathrm{N}_{2};

Passo 1

O que o problema pede: calcular a variação de entropia ao aquecer uma mol de \mathrm{N}_2 gasoso de \;T_1=298\\ \mathrm{K}\; até \;T_2=1000\\ \mathrm{K}\;.
Informações dadas e assumidas (explícitas):
  • Substância: \mathrm{N}_2 (gás).
  • Temperaturas: \;T_1=298\\ \mathrm{K}\; e \;T_2=1000\\ \mathrm{K}\;.
  • Vou assumir comportamento de gás ideal para \mathrm{N}_2 nessa faixa de temperatura (é uma hipótese padrão para cálculos de termodinâmica a pressão baixa/ambiente).
  • Para calcular a entropia precisamos da capacidade calorífica molar C_p(T) do \mathrm{N}_2 como função de T. Como o enunciado não deu uma expressão, vou usar os coeficientes de Shomate (base NIST) válidos na faixa 200 1000\\ \mathrm{K}, que são dados experimentais-padrão.

Passo 2

Fórmula-chave (aula curta e intuitiva):
A variação de entropia de uma substância quando a temperatura varia reversivelmente é dada por
\Delta S=\int_{T_1}^{T_2}\frac{C_p(T)}{T}\,dT.
O que isso significa: C_p(T) é a capacidade calorífica molar a pressão constante (em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}). A expressão diz que, para encontrar quanto a entropia muda ao aquecer, integramos a razão C_p(T)/T de T_1 até T_2. Não precisa conhecer entropia absoluta, só a diferença entre duas temperaturas.

Passo 3

Escolha do método para C_p(T) (por que usar Shomate):
  • Poderíamos aproximar C_p por constante média, mas isso dá erro relevante entre \;298\\ \mathrm{K} e \;1000\\ \mathrm{K}.
  • Usamos a equação de Shomate porque é uma representação polinomial padrão, fácil de integrar analiticamente e precisa para gases como \mathrm{N}_2.
  • A forma usada (NIST/Shomate) para C_p em função de t=T/1000 é
C_p(T)=A + B\,t + C\,t^2 + D\,t^3 + E\,t^{-2},
com t=\dfrac{T}{1000} e C_p em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 4

Coeficientes de Shomate para \mathrm{N}_2 (faixa 200 1000\\ \mathrm{K}, valores NIST):
\begin{aligned} A&=28{,}98641,\\\ B&=1{,}853978,\\\ C&=-9{,}647459,\\\ D&=16{,}63537,\\\ E&=0{,}000117. \end{aligned}
(Aqui usei os coeficientes padrão NIST para \mathrm{N}_2 na faixa citada.)

Passo 5

Montando a integral e simplificando com a troca de variável t=T/1000.
Primeiro note que dT=1000\,dt e T=1000\,t. Então
\frac{C_p(T)}{T}\,dT = \frac{A + B t + C t^2 + D t^3 + E t^{-2}}{1000\,t}\cdot 1000\,dt = \bigg(\frac{A}{t} + B + C t + D t^2 + E t^{-3}\bigg)\,dt.
Logo
\Delta S=\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac{A}{t} + B + C t + D t^2 + E t^{-3}\right)dt,
com \;t_1=\dfrac{T_1}{1000}=\dfrac{298}{1000}=0{,}298\; e \;t_2=\dfrac{1000}{1000}=1.
Integramos termo a termo:
\Delta S = A\ln\!\bigg(\frac{t_2}{t_1}\bigg) + B(t_2-t_1) + \frac{C}{2}(t_2^2-t_1^2) + \frac{D}{3}(t_2^3-t_1^3) - \frac{E}{2}\big(t_2^{-2}-t_1^{-2}\big).
(Ver: a integral de t^{-3} é -\tfrac{1}{2}t^{-2}, daí o sinal negativo no último termo.)

Passo 6

Cálculo numérico — avaliaremos cada parcela com os números dados.
Dados:
t_1=0{,}298,\qquad t_2=1.
  1. Termo A\ln(t_2/t_1):
A\ln\!\bigg(\frac{1}{0{,}298}\bigg)=28{,}98641\cdot\ln(3{,}355705)\approx28{,}98641\cdot1{,}210043\approx35{,}0748.
  1. Termo B(t_2-t_1):
1{,}853978\cdot(1-0{,}298)=1{,}853978\cdot0{,}702\approx1{,}30149.
  1. Termo \dfrac{C}{2}(t_2^2-t_1^2):
\frac{-9{,}647459}{2}\,(1-0{,}298^2) = -4{,}8237295\cdot(1-0{,}088804)\approx -4{,}8237295\cdot0{,}911196\approx -4{,}39536.
  1. Termo \dfrac{D}{3}(t_2^3-t_1^3):
\frac{16{,}63537}{3}\,(1-0{,}298^3) =5{,}5451233\cdot(1-0{,}0264636)\approx5{,}5451233\cdot0{,}9735364\approx5{,}39838.
  1. Termo -\dfrac{E}{2}(t_2^{-2}-t_1^{-2}):
-\frac{0{,}000117}{2}\left(1-\frac{1}{0{,}298^2}\right) \approx -0{,}0000585\,(1-11{,}255)\approx -0{,}0000585\cdot(-10{,}255)\approx0{,}00060.
(este é praticamente zero, só para completar.)

Passo 7

Somando todas as parcelas:
\Delta S \approx 35{,}0748 + 1{,}30149 - 4{,}39536 + 5{,}39838 + 0{,}00060 \approx 37{,}3799\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Interpretação final: a entropia aumenta (sinal positivo) ao aquecer o gás, e o valor calculado é aproximadamente \;37{,}38\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Dica rápida para prova: memorize a integral \Delta S=\int C_p/T\,dT e, se tiver polinômio em t=T/1000 (Shomate), aplique a troca t=T/1000 e integre termo a termo — é rápido e dá resultado analítico, como fizemos aqui.

Resposta

\Delta S \approx 37{,}38\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

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