Determinar a equação da circunferência de centro C(-3,-3) e tangente à reta
\mathrm{t}: 12 \mathrm{x}-5 \mathrm{y}-5=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência de centro C(-3,-3) e que seja tangente à reta
\mathrm{t}:12x-5y-5=0.
Vamos usar o fato de que, para ser tangente, o raio da circunferência deve ser igual à distância do centro à reta.

Passo 2

A distância de um ponto (x_0,y_0) à reta Ax+By+C=0 é dada por
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.
Aqui temos A=12, B=-5, C=-5 e (x_0,y_0)=(-3,-3). Calculamos o numerador:
\bigl|12\cdot(-3) + (-5)\cdot(-3) - 5\bigr| = \bigl|-36 + 15 - 5\bigr| = \bigl|-26\bigr| = 26.
O denominador é
\sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.
Logo,
d = \frac{26}{13} = 2.

Passo 3

Como a circunferência é tangente à reta, temos r = d = 2. A forma geral da circunferência de centro (h,k) e raio r é
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Substituindo h=-3, k=-3 e r=2, obtemos
(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 4.

Resposta

(x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 4.

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