Determinar a equação da circunferência de centro C(2,-1) e tangente à reta \mathrm{t}: 4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-2=0.

Passo 1

O enunciado dá o centro C(2,-1) e a reta \mathrm{t}:4x+3y-2=0. Como a circunferência é tangente a essa reta, seu raio r é a distância de C a \mathrm{t}. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta Ax+By+C=0:
\mathrm{dist}=\frac{\bigl|A x_0+B y_0+C\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

Passo 2

Aplicando em A=4, B=3, C=-2 e (x_0,y_0)=(2,-1), temos
r=\frac{\bigl|4\cdot2+3\cdot(-1)-2\bigr|}{\sqrt{4^2+3^2}} =\frac{\bigl|8-3-2\bigr|}{5} =\frac{3}{5}.

Passo 3

A equação geral da circunferência de centro (2,-1) e raio r é
(x-2)^2+(y+1)^2=r^2.
Substituindo r=\tfrac{3}{5}, obtemos
(x-2)^2+(y+1)^2=\left(\frac{3}{5}\right)^2 =\frac{9}{25}.

Resposta

(x-2)^2+(y+1)^2=\frac{9}{25}.

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