Determinar a equação da circunferência de centro na origem do sistema cartesiano e tangente à reta x+y=5.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma circunferência com centro na origem e tangente à reta x + y = 5. O conteúdo envolvido é geometria analítica de círculos e distância ponto–reta; vamos usar a fórmula da distância do centro à reta para determinar o raio.

Passo 2

Escrevemos a reta x + y = 5 na forma ax + by + c = 0. Assim,
x + y - 5 = 0,
logo a = 1, b = 1 e c = -5.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância de um ponto (x_{0},y_{0}) à reta ax + by + c = 0:
d = \frac{\lvert a\,x_{0} + b\,y_{0} + c\rvert}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}.
Como o centro é (0,0), temos
d = \frac{\lvert 1\cdot0 + 1\cdot0 - 5\rvert}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{5}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para que a circunferência seja tangente à reta, o raio r coincide com essa distância:
r = \frac{5}{\sqrt{2}},
portanto
r^{2} = \Bigl(\frac{5}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2} = \frac{25}{2}.

Resposta

x^{2} + y^{2} = \frac{25}{2}.

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