Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0) e tem raio \mathrm{r}=\sqrt{10}.

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência de raio \sqrt{10} cujo centro chamamos de (h,k) e que passa pelos pontos A(-1,0) e B(1,0). Para resolver, vamos usar a forma geral
(x-h)^2 + (y-k)^2 = 10
e impor que tanto A quanto B satisfaçam essa equação.

Passo 2

Impondo que A(-1,0) esteja na circunferência, temos
(-1 - h)^2 + (0 - k)^2 = 10,
ou seja,
(h + 1)^2 + k^2 = 10.
De modo análogo, para B(1,0) vem
(1 - h)^2 + (0 - k)^2 = 10,
ou seja,
(h - 1)^2 + k^2 = 10.

Passo 3

Subtraindo as duas equações:
(h+1)^2 + k^2 \;-\;\bigl[(h-1)^2 + k^2\bigr]=0
expande em
(h^2 + 2h + 1) - (h^2 - 2h + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4h = 0 \quad\Longrightarrow\quad h = 0.

Passo 4

Substituindo h=0 em, por exemplo, (h-1)^2 + k^2 = 10
(0 - 1)^2 + k^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad 1 + k^2 = 10 \quad\Longrightarrow\quad k^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad k = \pm 3.
Logo há duas possibilidades de centro: (0,3) e (0,-3).

Resposta

As duas circunferências são
x^2 + (y - 3)^2 = 10 \quad\text{e}\quad x^2 + (y + 3)^2 = 10.

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