Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(2,0) e B(4,-2) e tem centro na reta y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa por A(2,0) e B(4,-2) e cujo centro C está sobre a reta y=2x. O conteúdo aqui envolve geometria analítica de círculos e a condição de que o centro seja equidistante de A e B e satisfaça a reta dada.

Passo 2

Como C está na reta y=2x, podemos escrever
C=(h,2h).
Para que a circunferência passe por A e B, precisamos ter
CA^2=CB^2.

Passo 3

Calculando CA^2 e CB^2:
CA^2 = (h-2)^2 + (2h-0)^2 = (h-2)^2 + (2h)^2 = h^2 -4h +4 +4h^2 = 5h^2 -4h +4,
CB^2 = (h-4)^2 + (2h+2)^2 = (h-4)^2 + (2h+2)^2 = h^2 -8h +16 +4h^2 +8h +4 = 5h^2 +20.
Igualando CA^2 e CB^2:
5h^2 -4h +4 = 5h^2 +20 \quad\Longrightarrow\quad -4h +4 = 20 \quad\Longrightarrow\quad h = -4.

Passo 4

Portanto, o centro é
C =(-4,2\cdot(-4)) = (-4,-8).
O raio r satisfaz r^2 = CA^2. Calculamos
r^2 = (-4-2)^2 +(-8-0)^2 = (-6)^2 +(-8)^2 =36 +64 =100.

Passo 5

Assim, a equação da circunferência é
(x+4)^2 + (y+8)^2 = 100.

Resposta

(x+4)^2 + (y+8)^2 = 100.

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